resumo de calculo 3

Roteiro para a P3 Calculo III
Fluxo
Tipo:
∬ ⃗ ⃗⃗
Onde F é um campo vetorial ( ⃗ (

)

(

)), S é uma superfície parametrizável cujos pontos

pertencem ao domínio de F.

Método direto:




Parametrizar S em duas variáveis (S(u,v))
)) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Fazer ∬ ⃗ ( ( sendo U o domínio da parametrização
Resolver, podendo fazer mudança de variável caso necessário. o Atenção: Mudança de variável ≠ Parametrização! Repare que na parametrização seu número de variáveis diminuí (Uma superfície do R³ em 2 variáveis), enquanto que na mudança de variável, não!)

Usar quando o campo é fácil.

Método Indireto: Teorema de Gauss
Seja V um volume contido no domínio de F. Podemos enunciar o Teorema de Gauss como:
∭
Onde

( )

∬ ⃗ ⃗⃗

( )

) ⃗

(

denota o bordo de V, isto é, a união de superfícies que compõem a fronteira de V.

Em exercícios, normalmente o contém, mas não é exclusivamente composto pela superfície em questão. Além do mais, a superfície pode induzir à criação de um volume que não está totalmente no domínio de F, isto é, o volume possuí uma singularidade. Como o teorema só é valido se V pertencer ao domínio de F, devemos remover a singularidade do conjunto, criando um novo volume totalmente dentro do domínio, que terá um bordo diferente.
Nesse caso devemos seguir o esquema:




Definir V dentro do domínio de F
Encontrar o
(potencialmente várias superfícies). Vamos supor
( )
Fazer: ∭
∬ ⃗ ⃗⃗
∬ ⃗ ⃗⃗
∬ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗



o Lembrando que cada superfície tem uma normal distinta, paralela a ⃗⃗⃗⃗⃗ o Orientar os vetores normais para fora do volume.
Isolar a integral sobre a superfície que você quer. Nesse exemplo:
∬ ⃗ ⃗⃗



∭

( )

⃗⃗⃗⃗⃗

∬ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Resolver as integrais que sobraram do outro lado. Na integral dupla, usar o método direto descrito acima. Na integral tripla, resolver normalmente ou usando mudança de variável.
Note que não foi necessário parametrizar , nem encontrar seus limites de