RESUMO: APLICAÇÕES DE DERIVADAS

RESUMO: APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Estudo da Variação de Funções
Crescimento e Decrescimento
Dada uma função f(x) definida num intervalo I e seja a e b dois pontos deste intervalo, tal que a < b. A função f é crescente em I se f(a) < f(b) e é decrescente em I se f(a) > f(b).

Teorema: Considere uma função f(x) definida e contínua num intervalo I e que f(x) seja diferenciável nos pontos internos de I.

a) Se f '(x) > 0 para todo x interno a I, então f(x) é crescente no intervalo I.
b) Se f '(x) < 0 para todo x interno a I, então f(x) é decrescente no intervalo I.

Os pontos de máximo e de mínimo são denominados de extremos ou pontos críticos da função.

Função Monótona
Uma função é monótona num intervalo I se ela for crescente ou decrescente em I.

Concavidade
O sinal algébrico da 2a derivada (ou derivada segunda, f '') determina se o gráfico é côncavo para cima (tipo xícara) ou côncavo para baixo (tipo boné).

Dada uma função f(x), diferenciável até 2a ordem no intervalo I.
a) Se f ''(x) > 0, xI, então o gráfico de f(x) possui concavidade para cima em I.
b) Se f ''(x) < 0, xI, então o gráfico de f (x) possui concavidade para baixo em I.

Pontos de Inflexão
É um ponto onde a curva muda a sua concavidade e o gráfico da função intercepta a tangente no ponto. Neste ponto f ''(x) = 0. Esta condição é necessária mas não é suficiente!

Máximos e Mínimos Relativos
Uma função f(x) possui um máximo relativo (local) em um ponto c do intervalo I, se f(c)  f(x), para todo x de I. A função possui um mínimo relativo em I, se se f(c)  f(x), para todo xI.
Os pontos de máximo ou de mínimo são também denominados de extremos ou pontos críticos da função.

Teste da 2a derivada em pontos críticos
Seja uma função f(x) diferenciável em I, exceto em "c", onde f '(c) = 0, mas tal que f ''(c) exista.
a) Se f ''(c) > 0, então f possui um mínimo relativo em c.
b) Se f ''(c) < 0, então f possui um máximo relativo em c.

PORTANTO:

Seja f(x)