resumo algebra linear

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ALGEBRA LINEAR
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Baseado no livro Algebra Linear e Aplica¸˜es1 co 1

Transforma¸˜es Lineares co Defini¸˜o 1.0.1 (Transforma¸oes Lineares) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R. Uma ca c˜ c aplica¸˜o T : U → V ´ chamada transforma¸˜o linear se, e somente se, ca e ca • T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ); ∀u1 , u2 ∈ U e
• T (αu) = αT (u), ∀u ∈ R e ∀u ∈ U .

1.1

Propriedades

1. T (0) = 0
2. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U
3. T (u1 − u2 ) = T (u1 ) − T (u2 ), ∀u1 , u2 ∈ U
4. Se W ´ um sub-espa¸o de U , ent˜o a imagem de W por T ´ um sub-espa¸o de V . e c a e c 5. Sendo T : U → V linear ent˜o a n

T

n

ai u i i=1 1.2

=

ai T (ui ) i=1 Injetividade e Sobrejetividade

Defini¸˜o 1.2.1 (Injetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ injetora se, e somente se, ca ca e ∀u1 , u2 ∈ U, u1 = u2 =⇒ T (u1 ) = T (u2 ) ou, equivalementemente, a contra-positiva
∀u1 , u2 ∈ U, T (u1 ) = T (u2 ) =⇒ u1 = u2 .
Defini¸˜o 1.2.2 (Sobrejetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ sobrejetora se, e somente ca ca e se, Im(T ) = V , i.e.,
∀v ∈ V, ∃u ∈ U tal que T (u) = v.
Defini¸˜o 1.2.3 (Bijetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ bijetora se, e somente se, T ´ ca ca e e injetora e sobrejetora.
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CALLIOLI, C. DOMINGUES, H. COSTA, R. Algebra Linear e Aplica¸˜es. 6 ed. rev. S˜o Paulo: co a
Atual, 1990. ISBN 978-85-7056-297-5.
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1.3

N´ cleo e Imagem u Defini¸˜o 1.3.1 (N´ cleo) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma transca u c forma¸˜o linear. Indica-se por Ker(T ) e denomina-se n´cleo de T o seguinte subconjunto de ca u
U:
Ker(T ) = {u ∈ U |T (u) = 0}

Defini¸˜o 1.3.2 (Imagem) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma transca c forma¸˜o linear. Indica-se por Im(T ) e denomina-se imagem de F o seguinte subconjunto de ca U:
Im(T ) = {v ∈ V |v = T (u) para algum v ∈ V } = {T (u)|u ∈ U },
i.e., o conjunto dos vetores de V que s˜o imagem dos vetores de U . a Proposi¸˜o Seja T : U → V uma