Resposttas

Introdução
No século XIX, iniciou-se o movimento que ficou conhecido por aritmetização da Análise. A ideia de alguns matemáticos desse período era tornar esta ciência um campo matemático autônomo, pois, até então, seus teoremas eram ``provados'' recorrendo-se às evidências ou às intuições geométricas e, portanto, nesse sentido, a análise era dependente da Geometria1.1 1.2.
Nesse processo de aritmetização da Análise, era extremamente importante definir os números reais por meios puramente aritméticos. Além disso, era necessário, a partir dessa definição, provar as propriedades pertencentes a estes números sem recorrer à Geometria1.3.
No livro Continuity and Irrational Numbers (Dedekind1963), Dedekind assume os números racionais e suas propriedades como já conhecidas e, a partir daí, ele mostra como definir - ou criar, sua palavra preferida - os números irracionais. Não é nosso objetivo entrar aqui nos detalhes do procedimento de Dedekind1.4, o que queremos enfatizar é que a aritmetização sugerida por ele neste livro só poderia ser bem-sucedida, se os números racionais pudessem ser definidos e suas propriedades pudessem ser derivadas por meios puramente aritméticos.
Em outras palavras, se a definição dos números racionais e as provas de suas propriedades dependessem da intuição geométrica, o processo de aritmetização da análise estaria fadado ao fracasso. De alguma forma, a Análise dependeria da Geometria e não seria uma ciência autônoma.
Portanto, era também necessário definir os números racionais e provar suas propriedades por meios puramente aritméticos. Há muitos meios de se proceder. Landau, por exemplo, no seu livro Foundations of Analysis (Landau1966), assume os axiomas de Dedekind-Peano e prova uma série de fatos sobre os números naturais1.5. Depois, ele define uma fração como um par de números naturais:

onde e são números naturais1.6.
Então, Landau define quando duas frações são equivalentes:

É importante mencionar que ' ' é uma espécie