resoluçao

objetivos

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AULA

Subgrupos e grupos cíclicos

Meta da aula

Apresentar os conceitos de subgrupo e de subgrupo cíclico.

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• Identificar as propriedades que caracterizam um subgrupo.
• Apresentar exemplos de subgrupos.
• Identificar as propriedades que caracterizam um grupo cíclico. • Apresentar exemplos de subgrupos cíclicos.

Pré-requisitos
Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, desenvolvidos em Álgebra I e nas Aulas 12 e 13.

Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos

INTRODUÇÃO

Nas duas aulas anteriores, desenvolvemos o conceito de grupo e estudamos vários exemplos. Você deve ter notado que vimos alguns exemplos de grupos contidos em outro grupo maior. Por exemplo, o grupo (Z, +), dos números inteiros com a operação de adição, está contido no grupo (Q, +) dos números racionais com a operação de adição. Da mesma forma, (Q, +) está contido em
(R, +) que, por sua vez, está contido em (C, +). Esta é a importante noção de subgrupo. É relevante observar que, quando dizemos que o grupo (Z, +) está contido no grupo (Q, +), queremos dizer não só que um conjunto é subconjunto do outro, Z ⊂ Q, mas também que a operação de adição (+) entre dois números inteiros, a e b, produz o mesmo resultado a + b que na situação em que a e b são vistos como elementos do grupo (Q, +). Assim, não podemos dizer que o grupo multiplicativo (Q*, .) está contido no grupo aditivo (R, +), pois, apesar de
Q* ⊂ R, as operações a . b em (Q*, .) e a + b em (R, +) dão resultados diferentes para os mesmos a, b ∈ Q. Por exemplo, 1 . 1 = 1 e 1 + 1 = 2. Portanto, para que um grupo seja um subgrupo de outro grupo, vamos exigir não só que um conjunto esteja contido no outro mas, também, que suas operações coincidam nos elementos que são comuns aos dois conjuntos.

DEFINIÇÃO 1 (SUBGRUPO)
Sejam (G, .) um grupo e H um subconjunto não-vazio de G.
Dizemos que H é um subgrupo de G se H, munido