Resolucoes cap 4 meyer probabilidade

Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 4 – Variáveis Aleatórias Unidimensionais. Exemplo 4.9. Ao operar determinada máquina, existe alguma probabilidade de que o operador da máquina cometa um erro. Pode-se admitir, razoavelmente, que o operador aprenda, no sentido de que decresça a probabilidade de cometer um erro, se ele usar repetidamente a máquina. Suponha que o operador faça n tentativas e que as repetições sejam estatisticamente independentes. Suponhamos, especificamente, que . Admitamos que se pretendam 4 tentativas (isto é, )e definamos a variável aleatória como o número de operações da máquina, executadas sem erro. Note-se que X não tem distribuição binomial, porque a probabilidade de "sucesso" não é constante. Para calcular a probabilidade de que , por exemplo, procede-se do seguinte modo: se, e somente se, houver exatamente uma tentativa mal sucedida. Isto pode ocorrer na primeira, segunda, terceira ou quarta tentativas. Portanto,

Exemplo 4.10. Considere-se uma situação semelhante àquela apresentada no Ex. 4.9. Agora, admitiremos que exista uma probabilidade constante de não cometer um erro na máquina, durante cada uma das tentativas, e uma probabilidade constante de não cometer um erro em cada uma das repetições subsequentes. Seja o número de operações bem sucedidas da máquina durante as tentativas independentes. Vamos procurar a expressão geral de . Pelo mesmo motivo dado no exemplo precedente, não tem distribuição binomiaI. Para obter , procede-se da seguinte maneira: Sejam o número de operações corretas durante as primeiras tentativas, e o número de operações corretas durante as tentativas subsequentes. Portanto, e são variáveis aleatórias independentes e . Assim, se, e somente se, e , para qualquer inteiro que satisfaça às condições e . As restrições acima, sobre , são equivalentes a as, poderemos escrever e . maneiras distintas, . Combinando-

Se no primeiro evento ocorrerem sucessos que podem ocorrer de então