resmat

Determine a solução geral De cada uma das equações diferenciais: a-) b-) c-) d-) e-) f-)

g-)

RESOLUÇÃO COMENTADA
Peço a todos que confiram os sinais e contas!

a-)
Esta é uma equação linear de 1a ordem.
Nossa primeira tarefa é tornar o coeficiente da derivada igual a 1. Observem: , e a forma simplificada será:

, que já é a forma ideal para resolver a equação
Impor a solução , faça a substituição na equação original, para obter:

Bom caminho e belo resultado para v.
Vamos continuar para determinar, agora, o nosso u.
Para isso vamos nos reportar à equação original.

Faça a simplificação em x, para obter: Importante salientar que é prudente resolver os dois integrais que aparecem acima separadamente. Vamos a eles: é um típico integral por partes. Vamos resolvê-lo

Chamaremos: Substituindo: O outro integral:

Portanto a expressão em u será: Portanto: Caso vocês queiram deixar a resposta mais “elegante”, poderemos escrever:

b-)
Esta também é uma equação linear de 1a ordem.
Impor a solução: , faça a substituição na equação original, para obter: Encontrado v, agora devemos determinar a expressão em u. Vamos a ele: Para resolver o integral, teremos que aplicar a técnica de integração por partes. Vou resolvê-la de forma direta. Vejam: Desta forma: Vocês poderão melhorar a expressão.
Portanto a expressão em u será:

Desta forma, a solução geral de nossa equação diferencial será: Bela resposta!

c-)
Esta é uma equação separável. Observem: Observo que a resposta poderia ser apresentada de outra forma, com a colocação da constante em outro membro da equação.

d-)
Esta é uma outra equação separável. Nada difícil de resolver. Vamos a ela!

Bela resposta. Volto a lembrar que a resposta seria visualmente diferente caso a constante fosse colocada de