Resmat 2 - flexao assimetrica
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Resistência dos Materiais IIYshii
UnG Notas de Aula Resistência dos Materiais Yshii
3. Flexão Assimétrica.
Consideremos a figura abaixo uma seção onde não há simetria geométrica submetido a um carregamento que provoca tensão longitudinal sob as hipóteses já mencionadas e estabelecidas na teoria da flexão até aqui conduzida.
y z y cg dF = σx d A
z
x
Como não há carga axial por ser flexão pura os resultantes dos esforços serão dados por F ( x) = M y ( x) =
∫σ
A
x
dA = 0
∫
A
z σ x dA
A
M z ( x ) = − ∫ y σ x dA .
A tensão pode ser representada pela seguinte equação linear respeitando as hipóteses
σx = A y + B z + C
(3.1)
o qual, ao introduzirmos nas expressões de resultantes teremos, em primeiro lugar
F ( x ) = ∫ ( A y + B z + C ) dA = A ∫ ydA + B ∫ zdA + C ∫ dA .
Como os eixos y e z tem origem no centróide, e portanto, ∫ ydA =
C = 0.
∫ zdA = 0 , temos
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Yshii
A expressão (3.1) se torna
σx = A y + B z.
Para segunda expressão da resultante temos
(3.2)
M y ( x) =
∫ z ( A y + B z ) dA =
A I yz + B I y
e para o ultimo resultante
M z ( x) = − ∫ y ( A y + B z ) dA = − A I z − B I yz .
Assim temos o sistema linear
A I yz + B I y = M y − A I z − B I yz = M z
cuja solução nos traz
− M z I y − M y I yz
2 I y I z − I yz
A= B=
M y I z + M z I yz
2 I y I z − I yz
.
Substituindo os valores acima em (3.2) obtemos
− M z I y − M y I yz Iy Iz − I
2 yz
σx =
⋅y +
M y I z + M z I yz
2 I y I z − I yz
⋅z
(3.3)
que é a expressão da tensão ao longo da seção considerada.
Observando que no eixo neutro ou linha neutra cuja definição é a reta na seção onde
σ x = 0 , temos, de (3.3)
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M y I z + M z I yz y = = tg β . z M z I y + M y I yz
(3.4)
A expressão (3.4) é nada mais do que o coeficiente angular da linha neutra na seção conforme a figura que se segue y M
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