resistencia materiais

Cap.9 – Transformação de Tensão

σ xx τ xy τ xz 
[σ ] = τ yx σ yy τ yz 


 τ zx τ zy σ zz 



σ xx τ xy
[σ ] = τ yx σ yy

 0
0


0
0

0


σ xx τ xy 
[σ ] = τ σ  yy 
 yx

Estado de tensão em um ponto:

=

σ xx τ xy  σ]= [ τ yx σ yy 



=

σ x ' x ' τ x ' y ' 
[σ ] = τ

 y'x' σ y' y ' 

Diagrama de corpo livre

Equilíbrio de forças:

∑F

x'

=0

σ x ' ∆A − (σ x ∆A cos θ ) cos θ − (τ xy ∆A cos θ ) sin θ − (τ xy ∆A sin θ ) cos θ − (σ y ∆A sin θ ) sin θ = 0

σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + τ xy 2sin θ cos θ sin 2θ = 2sin θ cos θ ;

Sendo que:

sin 2 θ =

(1 − cos 2θ ) ;

σ x' =

cos 2 θ =

2

σx +σ y
2

+

σ x −σ y
2

(1 + cos 2θ ) ;
2

cos 2θ + τ xy sin 2θ

∑F =0 y' τ x ' y ' = (σ x − σ y ) sin θ cos θ + τ xy ( cos 2 θ − sin 2 θ )

τ x' y'

 σ x −σ y
= −
 2


 sin 2θ + τ xy cos 2θ


Para obter a nova tensão normal na direção y’ :

θ = θ + 90º

σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + τ xy 2sin θ cos θ σ x' =

σx +σ y
2

+

σ x −σ y
2

cos 2θ + τ xy sin 2θ

σ y ' = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ + τ xy 2sin θ cos θ

σ y' =

σx +σ y
2

−

σ x −σ y
2

cos 2θ − τ xy sin 2θ

σ x' = σ y' =

σx +σ y
2

σx +σ y
2

+
−

σ x −σ y
2

σ x −σ y

 σ x −σ y
 2

τ x' y' = − 

2

cos 2θ + τ xy sin 2θ cos 2θ − τ xy sin 2θ


 sin 2θ + τ xy cos 2θ


σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + τ xy 2sin θ cos θ σ y ' = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − τ xy 2sin θ cos θ τ x ' y ' = (σ x − σ y ) sin θ cos θ + τ xy ( cos 2 θ − sin 2 θ )

 σ x '   cos 2 θ

 
2
 σ y '  =  sin θ
τ  sin θ cos θ
 x' y'  

sin 2 θ cos 2 θ
− sin θ cos θ

{σ '} = [T ]{σ }

Exercícios:

2sin θ cos θ  σ x 
 
−2 sin θ cos θ  σ y  cos 2 θ − sin 2 θ  τ xy 
 

Exercício:
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura. Determine