Relações metricas no triangulo retangulo

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br

Relações Métricas e Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo – 2014 - GABARITO

1. Os catetos de um triângulo retângulo medem 24cm e 18cm. Nessas condições determine:
a) a medida "a" da hipotenusa b) a medida "h" da altura relativa à hipotenusa.

c) as medidas "m" e "n" das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Solução. Utilizando as relações do triângulo retângulo, temos:

a) .

b) .

c) .

2. As projeções dos catetos de um triângulo retângulo sobre a hipotenusa medem 9dm e 16dm. Neste caso os catetos medem:

a) 15dm e 20dm b) 10dm e 12dm c) 3dm e 4dm d) 8dm e 63dm.

Solução. Se as projeções medem 9dm e 16dm, então a hipotenusa mede (9 + 16) = 25dm. Utilizando as relações métricas, temos:

.

3. No triângulo da figura a seguir, calcule o valor de x é:
Solução. Escrevendo a relação de Pitágoras para dois triângulos retângulos determinados pela altura, temos:

.

4. No triângulo , , , , é ponto médio de , e é o pé da altura do triângulo do vértice até a base . Nessas condições dadas, determine o perímetro do triângulo .

Solução. Calculando o valor da medida x através das relações métricas nos triângulos ABH e AHC, temos:

.

Propriedade: A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo vale a metade do valor da hipotenusa.
Demonstração. Considere o triângulo ABC, retângulo em B, sendo M o ponto médio da hipotenusa AC. Logo, BM é mediana relativa à hipotenusa. Prolongando BM tal que BM = MD, temos os triângulos semelhantes AMB e CMD. Logo, AB = CD e BD = AC. Concluímos que AM = BM.

Voltando ao problema, m = 13/2 no triângulo BMH.

Logo o perímetro pedido é: 13/2 + 13/2 + 5 = 18cm.

5. Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 metros um do