recorrencia

Solu¸oes da Lista de Exerc´ c˜ ıcios
Unidade 7

1. x2 x3 x4 x5

= 2x1 + x0
= 2x2 + x1
= 2x3 + x2
= 2x4 + x3

= 2.1 + 1 = 3
= 2.3 + 1 = 7
= 2.7 + 3 = 17
= 2.17 + 7 = 41

2. O n´mero m´ximo de regi˜es ´ determinado quando, para cada n, a reta u a o e n + 1 intercepta as n j´ existentes. Neste caso, a nova reta subdivide a n+1 regi˜es, criando assim n+1 novas regi˜es. Logo, o n´mero m´ximo o o u a de regi˜es xn determinado por n retas satisfaz xn+1 = xn +(n+1), para o n = 0, 1, 2, . . . , com x0 = 1.
3. O valor de x1 est´ bem definido, j´ que x1 = a. Suponhamos agora que a a xn esteja bem definido. Ent˜o, como xn+1 = f (xn ), o valor de xn+1 a tamb´m est´ bem definido para todo natural n. e a
4. Os valores de x1 e x2 est˜o bem definidos, j´ que x1 = a e x2 = b. a a
Suponhamos agora que xn e xn+1 estejam bem definidos. Ent˜o, como a xn+2 = f (xn , xn+1 ), o valor de xn+2 tamb´m est´ bem definido. Logo, e a pelo Principio da Indu¸ao Finita, o valor de xn est´ bem definido para c˜ a todos natural n.
5.

a) A raz˜o xn+1 /xn entre dois termos consecutivos ´ constante e igual a e a 2. Logo, a seq¨encia ´ uma progress˜o geom´trica de raz˜o u e a e a 2. Como o primeiro termo ´ x1 = 3, o termo geral ´ dado por e e xn = 3.2n−1 .
b) A diferen¸a xn+1 − xn entre dois termos consecutivos ´ constante e c e igual a 3. Logo, a seq¨encia ´ uma progress˜o aritm´tica de raz˜o u e a e a 3. Como o primeiro termo ´ x1 = 2, o termo geral ´ dado por e e xn = 2 + 3n − 1 = 3n + 1.

1

6. Do exerc´ 2, o n´mero m´ximo xn de regi˜es em que n retas podem ıcio u a o dividir o plano satisfaz a recorrˆncia xn+1 = xn + n + 1, com x0 = 1. e Da´ ı: x0 = 1 x1 = x0 + 1 x2 = x1 + 2
···
xn = xn−1 + n
Somando, resulta: xn = 1 + 1 + · · · + n = 1 +

n(n + 1)
2

7. Seja xn o n´mero de seq¨encias de n termos 0 ou 1 com quantidade u u
´
ımpar de termos iguais a 0. O n´mero de seq¨encias de n+1 termos 0 ou u u