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Capítulo 10

COMPLEMENTOS DE CAMPOS DE
VETORES
Neste capítulo aprofundaremos alguns dos conceitos e teoremas já estudados nos capítulos anteriores, com acréscimos importantes nas aplicações. Para uma melhor compreensão dos tópicos que trataremos, recomendamos conhecimentos básicos de Álgebra Linear.

10.1 Introdução
Neste parágrafo apresentaremos os conceitos mais utilizados nos capítulos anteriores, do ponto de vista da Álgebra Vetorial. Todos estes resultados são, essencialmente, exercícios de derivadas e da regra da cadeia. Para detalhes, veja [VC].
Considere ∇ o operador definido nos capítulos anteriores, em coordenadas retangulares:

∇=

∂
∂
∂ i+ j+ k, ∂x
∂y
∂z

onde {i, j, k} é a base canônica de R3 . De forma análoga, define-se para o R2 .
Dos capítulos anteriores, sabemos que o operador ∇ possui uma um caráter tanto vetorial como diferencial, isto é, o operador atua sobre campos de vetores e funções diferenciávéis. No que segue do capítulo, todas as funções e campos de vetores serão definidos num conjunto aberto do R3 ou do R2 e pelo menos devem possuir as primeira derivadas parciais, definidas
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CAPÍTULO 10. COMPLEMENTOS DE CAMPOS DE VETORES

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no conjunto aberto. Então, temos:
∇f = grad(f ) =

∂f
∂f
∂f i+ j+ k, ∂x
∂y
∂z

∇ · F = div F =

∂F2 ∂F3
∂F1
+
+
,
∂x
∂y
∂z

∇ × F = rot F =

i
∂
∂x
F1

j
∂
∂y
F2

k
∂
∂z
F3

=

∂F1 ∂F3
∂F2 ∂F1
∂F3 ∂F2
−
−
−
i+ j+ k.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y

O operador ∇ é linear; de fato, sejam f e g funções, F e G campos de vetores e α e β constantes, então: ∇ (α f + β g) = α ∇ f + β ∇ g,

∇ · (α F + β G) = α ∇ · F + β ∇ · G

e

∇ × (α F + β G) = α ∇ × F + β ∇ × G.
Segue diretamente das definições:
Proposição 10.1.
Sejam f uma função real, F e G campos de vetores definidos no aberto U ⊂ R3 , então:
1. ∇ f g = g ∇ f + f ∇g.
2. ∇ · (f F ) = f ∇ · F + ∇ f · F .
3. ∇ × (f F ) = f ∇ × F + ∇ f × F = f ∇ × F − F × ∇ f .
4. ∇ · F × G =