Rao vibrações exercicios

Lista de Exercícios: soluções - Unidade 2
2.1

Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo de elasticidade E = 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento.
(a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa.
(b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola?
(c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre elas (não há atrito).
(d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas.
Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 109 Pa
48EI
(a) Viga bi-apoiada sob flexão  k  3
L
bt 3 0,02  0,0033 com I 

 45 1012 m4
12
12
48EI 48  210 10 9  45 10 12 k 3 
 16,8 10 3 N/m
L
0,33
(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes soluções:
1. Diminuir o comprimento para

L3

48EI
48  210 10 9  45 10 12
3
 0,238 m
2k
2 16,8 10 3

2. Aumento do momento de inércia (dimensões da seção transversal)
2kl 3 2  16,8  103  0,33
I

 9  1011 m4
48E
48  210  109
(c) A configuração proposta consitui-se em uma associação em paralelo, implicando na duplicação da rigidez, de forma que k  2 16,8 103  33,6 103 N/m
(d) Desta forma a espessura da viga é duplicada t = 6 mm bt 3 0,02  0,0063
I

 360 1012 m4
12
12
48EI 48  210  10 9  360  10 12 k 3 
 134  10 3 N/m
L
0,33
2.2

Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. Para reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k,