psicologia

Espaço Vetorial
Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:
A1 Quaisquer que sejam u,v,w V
(u+v)+w = u+(v+w)
A2 Existe θ V tal que para todo v V: θ + v = v
A3 Para cada v V, existe −v V tal que v+(−v)=θ A4 Quaisquer que sejam u,v V, segue que u+v=v+u M1 Para todo escalar k K e quaisquer v,w V:
k.(v+w) = k.v + k.w
M2 Para quaisquer k,m K e todo v V:
(k+m).v = k.v + m.v
M3 Para quaisquer k,m K e qualquer v V:
(km).v = k(m.v)
M4 Para qualquer v V tem-se que
1.v = v

Propriedades em um espaço vetorial
Se V é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:
1. Para todo k K segue que k.θ = θ.
2. O vetor nulo θ é único.
3. Para todo v V tem-se que 0.v = θ.
4. Para cada v V o vetor oposto −v V é único.
5. Seja k K e v V. Se k.v=θ então k=0 ou v=θ.
6. Se v+u=v+w para u,v,w V, então u=w.
7. Quaisquer que sejam v,w V, existe um único u V tal que v+u=w.
8. Para todo k K e para todo v V segue que
(−k).v = −(k.v) = k.(−v)
9. Para todo k K e para todo v V segue que
(−k)(−v) = kv
10. Se k1, k2,...,kn K e v V, então
(k1 + k2 + ... + kn) v = k1 v + k2 v + ... + kn v
11. Se k K e v1, v2,...,vn V, então k(v1 + v2 + ... + vn) = k v1 + k v2 + ... + k vn
Exemplos de espaços vetoriais
1. Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K.
2. O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e multiplicação de R.
3. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e multiplicação de C.
4. R² = {(x,y): x R, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) e