Propriedades das derivadas e das integrais

PROPRIEDADES DAS DERIVADAS E DAS INTEGRAIS

Os limites, as derivadas e as integrais de funções vetoriais são definidos através destas operações sobre as suas funções componentes. Assim, as propriedades das derivadas ou das integrais sobre as funções vetoriais são conseqüências destas nas funções componentes. Sugerimos que você complemente com a leitura da seção 5.2 do livro ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.2.

Apresente as expressões (fórmulas) e exemplos para limites, derivadas e integrais de funções vetoriais no espaço 2-D e no espaço 3-D.

Desenvolveremos as propriedades das derivadas e das integrais no espaço 2-D (IR2), mas podemos desenvolvê-las analogamente no espaço 3-D (IR3).

Dadas as funções vetoriais definidas por r1 (t) = ( x1 (t), y1 (t) ) e r2 (t) = ( x2 (t), y2 (t) ), a função escalar definida por w = f(t), um escalar k e um vetor constante c = (a, b), temos: 1) [pic][ c ] = 0
De fato, [pic][ c ] = [pic][ (a, b) ] = ([pic][ a ], [pic][ b ] ) = (0, 0) = 0

2) [pic][ k r1(t) ] = k [pic][ r1(t) ]
De fato,
[pic][ k r1(t) ] = [pic][ (k x1(t), k y1(t) ) ] = ([pic][k x1(t)], [pic][ k y1(t)] ) =
= (k[pic][ x1(t)], k[pic][ y1(t) ] ) = k ([pic][( x1 (t)], [pic][ y1 (t)] ) =
= k [pic][( x1 (t), y1 (t) )] = k [pic][ r1(t) ].

3) [pic][ r1(t) [pic] r2(t) ] = [pic][ r1(t) ] [pic] [pic][ r2(t) ]

4) [pic][ f(t) r1(t) ] = f(t) [pic][ r1(t) ] + [pic][ f(t) ] r1(t)

5) [pic][ k r1(t) ] dt = k [pic] r1(t) dt

6) [pic][ r1(t) [pic] r2(t) ] dt = [pic] r1(t) dt [pic] [pic] r2(t) dt

De fato,
[pic][ r1(t) [pic] r2(t) ] dt = [pic]( x1(t) [pic] x2(t), y1(t) [pic] y2(t) ) dt =
= ([pic] [ x1(t) [pic] x2(t) ] dt, [pic] [ y1(t) [pic] y2(t) ] dt ) =
= ([pic] x1(t) dt [pic] [pic] x2(t) dt, [pic] y1(t) dt [pic] [pic] y2(t) dt ) =
= ([pic] x1(t) dt, [pic] y1(t) dt ) [pic]