Projeto C#

Título: Unidade 08 - Distâncias

Autor(es): Will Ricardo dos Santos Machado

Unidade 8 – Distâncias

Abordaremos neste capítulo alguns mecanismos para se obter medidas de distâncias entre dois pontos, um ponto a uma reta, um ponto a um plano, entre duas retas e um plano a outro plano, com base na utilização de vetores.

Distância entre dois Pontos
Dados os pontos P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2), à distância d entre eles é

P1 P2

.
Como

P1 P2

= P2 – P1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

tem-se

d(P1, P2) =

(x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2

Distância de um Ponto a uma Reta
Dado um ponto P do espaço e uma reta r, a distância entre P e r pode ser obtida da seguinte forma: Considerando um ponto A contido na reta r e o vetor diretor reta, os vetores

r v da

r v e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à

distância d(P, r), conforme figura ilustrada a seguir.

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A área A do paralelogramo é dada por
a) A = base x altura ⇒ A =

r v ⋅d

ou
b) A =

r v ∧ AP

Sendo assim, substituindo a fórmula do cálculo da área do item b na fórmula expressa no item a, teremos

r v ∧ AP

=

r v ⋅d

⇒

d = d(P, r) =

r v ∧ AP r v

Por exemplo, dada uma reta r: X = (-1, 2, 3) + λ (2, -1, -2), calcular a distância do ponto P = (2, 1, 4) a reta r.

Solução: Como o ponto A = (-1, 2, 3) ∈ a reta r e o vetor diretor da reta r é

AP r i r v ∧ AP = 2
3

(2, -1, -2), o vetor

r v =

= P – A = (2, 1, 4) - (-1, 2, 3) = (3, -1, 1). Calculemos

r j −1
−1

r k −2
1

= (-3, -8 , 1)

Portanto,

d(P, r) =

r v ∧ AP r v

⇒

(-3) 2 + (-8) 2 + (1) 2
2 2 + (-1) 2 + (-2 ) 2

⇒

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3

u.c. (unidade de

comprimento).

Distância de Ponto a Plano
Dado um ponto P0 e um plano π, quer-se calcular a distancia d(P0, π) de P0 a π.
Seja A um ponto qualquer de π e

r n um vetor normal a π.

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Conforme