projetil balistico

Otimização de um projétil balístico de arma de fogo
Benjamin Alves Moreira Neto

DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
Projétil balístico é qualquer sólido pesado que se mova no espaço, abandonado a si mesmo depois de haver recebido impulso. A munição tem quatro partes essenciais: O invólucro, a espoleta, o propelente (normalmente pólvora) e o projétil. Quando a queima da pólvora produz gases, o projétil, geralmente de chumbo em forma de ogiva, é impulsionado a grande velocidade para fora da arma. É constituído de um núcleo de chumbo endurecido com antimônio e envolvido por uma camisa de tombac, que é uma liga de cobre e zinco.
A velocidade do projétil, e consequentemente a letalidade deste, está diretamente ligada à quantidade de pólvora usada. Logo, considerando que o invólucro representa metade do volume do projétil, e este tem uma área total de 900mm² (área da base+área lateral+área da meia esfera superior), qual seria o maior volume possível do invólucro?

FIGURA 1 Projétil balístico.

SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Considerando que se sabe a área do projétil, pode-se descobrir suas medidas, e assim, calcular o volume total e o volume do invólucro.

FIGURA 2 Medidas do projétil.

Assim, definimos a equação da área total por área lateral, mais área da base, mais área da meia esfera superior:

Considerando a condição do problema (área total=900mm²), =3 e que temos:

Enfim, temos a equação do volume total:

Encontrando os pontos críticos:

Agora basta avaliar se o ponto crítico representa um ponto de máximo global. Para isso, poderíamos analisar os valores do volume total nos extremos do intervalo de variação de que é , fazendo o estudo da segunda derivada (C’’).

Note que C’’é negativo para qualquer valor de em . Sendo assim, o ponto crítico representa um ponto de máximo global.
Como , então:

E o valor de será:

Logo, o volume total será:

Portanto o volume máximo do invólucro será de:

A partir destes cálculos é