Produto vetorial

TRABALHO DE MECÂNICA – PRODUTO VETORIAL

ALUNOS:

1.0 PRODUTO VETORIAL
Produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais.

1.1 Definição
A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial é a × b.
Podemos definí-lo como:

Onde: * θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores; * é o vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.
Obs.1: O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares a a e b simultaneamente: se é perpendicular, então também é.
Obs.2: O módulo do produto vetorial pode ser avaliado pela área do paralelogramo cujos lados são representados pelos vetores fatores:

|a x b| - Área do paralelogramo

O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k).
Uma forma fácil de determinar o sentido do vetor resultante é a "regra da mão direita". Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.

2.0 Propriedades 1. vxw = - wxv 2. ux(v + w) = uxv + uxw 3. k(vxw) = (k v)xw = vx(k w) 4. ixi = jxj = kxk = 0 5. ixj = k, jxk = i, kxi = j 6. Se v e w são não nulos e vxw = 0, então v e w são paralelos

O produto vetorial é: * Anticomutativo: a × b = -b × a * Distributivo sobre a adição: a × (b + c) = a × b + a × c

* Compatível com a multiplicação escalar, tal que:
(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

* Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi: a × (b × c) +