Problemas elípticos assintoticamente lineares

Problemas Elípticos Assintoticamente Lineares
Caíke da Rocha DAMKE; Edcarlos Domingos da SILVA

Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás, Campus II- Caixa Postal 131, CEP 74001-970 - Goiânia, GO, Brasil.
E-mail: [e-mail]; [e-mail]
Palavras chaves: Problema de Dirichlet; Solução Positiva; Teorema do Passo da Montanha; Assintoti-

camente Linear.

1 Introdução
Nosso trabalho busca estudar a existência e multiplicidade de soluções positivas para o seguinte problema de Dirichlet assintoticamente linear   −∆u = f (x, u(x)),  u = 0,

em Ω. sobre ∂Ω

(1.1)

onde Ω ⊆ RN , para N ≥ 3, é um aberto limitado com fronteira regular e f : Ω × R → R satisfaz as seguintes condições: (H1)f ∈ C(Ω × R); f (x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω; f (x, t) ≥ 0, ∀t ≥ 0, x ∈ Ω e f (x, t) ≡ 0,
∀t ≤ 0, x ∈ Ω; f (x, t) (H2) é não-decrescente com respeito a t ≥ 0, ∀x ∈ Ω; t f (x, t) f (x, t) (H3)lim = µ; lim = l uniformemente ∀x ∈ Ω, onde µ ∈ [0, +∞), l ∈ t→∞ t→0 t t 1 (0, +∞] são constantes e µ < λ1 ≤ l e λ1 é o primeiro autovalor do Laplaciano (−∆, H0 (Ω)).

Para garantir a existência e multiplicidade de soluções necessitamos vericar que o funcional energia relacionado ao problema
J(u) = 1 2 | u|2 dx −
Ω Ω

F (x, u)dx,

(1.2)

onde F (x, u) =
0

u

f (x, s)ds, satisfaz a condição de Palais-Smale, a ser descrita abaixo. Além

disso, devemos garantir que (1.2) possua a geometria do Passo da Montanha e obtendo a existência de solução do problema (1.1).

2 Resultados e Discussão
Primeiramente, começaremos com algumas denições básicas.

Denição 2.1. Seja u ∈ L1 (Ω). Dizemos que uma função vi ∈ L1 (Ω) é uma derivada fraca loc loc de u, se u Ω

∂ϕ dx = − ∂xi

vi ϕdx
Ω ∂u ∂xi

(2.3) e dizemos que u é fracamente

∞ para toda ϕ ∈ C0 (Ω) . Neste caso, denotamos vi =

diferenciável se todas as derivadas fracas de primeira ordem de u denem funções em L1 (Ω) e loc vale (2.3). Considere o seguinte espaço de funções