Problema de Sturm-Liouville
2003 palavras
9 páginas
Problema de Sturm-LiouvilleVeras, D. F. S.
28 de Março de 2013
A
teoria de Sturm-Liouville trata com o estudo das propriedades ge-
rais de um problema de autovalor que surge a partir de uma equação diferencial de segunda ordem. Basicamente, um problema de Sturm-Liouville segue equações da forma
L[y(x)] = λy(x), onde L(x) = p0 (x) e λ
d d2 + p1 (x)
+ p2 (x) dx2 dx
é uma constante. O caso de maior interesse é quando
L
é
hermitiano1 .
Isso ocorre na teoria das equações diferenciais quando
p1 (x) = p0 (x), conduzindo ao bem conhecido
operador de Sturm-Liouville
L(x) =
d dx p0 (x)
d dx + p2 (x).
O método da separação de variáveis da equação de Helmholtz conduz à equações Sturm-Liouville da forma
d dx p(x)
dy dx − s(x)y + λr(x)y = 0.
Atravéz do operador de Sturm-Liouville,
L≡
d dx p(x)
d dx − s(x),
a eq(1) se torna uma equação de autovalores.
L[y(x)] = −λr(x)y(x)
Note que
L = d2 /dx2
quando
p(x) = 1
1 também chamado e auto-adjunto
1
e
s(x) = 0.
(1)
1 Exemplo: oscilador harmônico
A equação diferencial para ondas estacionárias em cordas distendidas é
d2 y(x)
+ k 2 y(x) = 0 dx2 onde
k
é um parâmetro.
Esta equação pode escrita como um problema de
autovalores,
L[y(x)] = k 2 y(x), se L = −d2 /dx2 .
A partir das condições de contorno
y(0) = y(l) = 0,
obtêm-se
as soluções desta equação diferencial como
2 nπx , sin l l y(x) =
k2 =
n2 π 2
,
l2
n = 1, 2, · · ·
O fato de um parâmetro ter valores discretos é típico de problemas de autovalores e surge diretamente da imposição das condições de contorno.
2 Ortogonalidade das autofunções de Sturm-Liouville
Considere duas autofunções
d dx p(x)
d dx a
Integrando de
b
yn (x) a d dx à
b
yn
e
ym :
dym dx − s(x)ym + λr(x)ym = 0,
(2)
dyn dx − s(x)yn + λr(x)yn = 0,
(3)
p(x)