Problema da salada de frutas - análise combinatória - pucpr 2013

PUCPR – VERÃO 2013 - MATEMÁTICA

Uma pessoa dispõe de 6 morangos, 6 bananas, 6 kiwis e 6 maçãs para fazer uma salada de frutas usando exatamente 6 frutas das 24 que possui. Sabendo que não é obrigatório utilizar os quatro tipos de fruta (morango, banana, kiwi e maçã), que é necessário usar pelo menos dois dos quatro tipos de fruta e que não é permitido utilizar quantidades não inteiras de cada fruta, calcule quantas saladas de frutas distintas essa pessoa poderá fazer.
A) 80
B) 84
C) 120
D) 1296
E) 116

SOLUÇÃO:
Inicialmente, devemos perceber que são duas escolhas a serem feitas: primeiro escolhemos quantos tipos de frutas vamos usar (podem ser 2, 3 ou 4 tipos). Depois escolhemos quais frutas vamos usar, uma vez que temos 4 possibilidades. Assim, vamos analisar separadamente, as saladas feitas com 2 tipos de frutas, depois com 3 tipos e, finalmente, as saladas feitas com 4 tipos de frutas.

SALADAS COM 2 TIPOS DE FRUTAS
Existem 3 maneiras diferentes de fazer uma salada usando dois tipos de frutas, totalizando 30 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos: 1 fruta “tipo A” e 3 frutas “tipo B” → A4,2 = 12 2 frutas “tipo A” e 4 frutas “tipo B” → A4,2 = 12 3 frutas “tipo A” e 3 frutas “tipo B” → C4,2 = 6 TOTAL = 30 saladas de frutas diferentes (1)

SALADAS COM 3 TIPOS DE FRUTAS
Existem também 3 maneiras diferentes de fazer uma salada usando três tipos de frutas, totalizando 40 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos: 1 fruta “tipo A” e 1 fruta “tipo B” e 4 frutas “tipo C” → 4.C3,2 = 12 1 fruta “tipo A” e 2 frutas “tipo B” e 3 frutas “tipo C” → A4,3 = 24 2 frutas “tipo A” e 2 frutas “tipo B” e 2 frutas “tipo C” → C4,3 = 4 TOTAL = 40 saladas de frutas diferentes (2)

SALADAS COM 4 TIPOS DE FRUTAS
Para esse caso, existem 2 maneiras diferentes de fazer uma salada, totalizando 10 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos: 1 fruta “tipo A” e