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Probabilidade e Estat´ıstica: Laborat´ orio 2
Luiz Antonio de Freitas1

Probabilidade
Palavras-chaves: experimento aleat´orio, espa¸co amostral, evento, probabilidade.

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Probabilidade
∙ 𝜖: experimento aleat´ orio. ∙ 𝑆: espa¸co amostral.
∙ 𝐸: evento.
1. 𝜙: evento imposs´ıvel.
2. 𝑆: evento certo.
3. 𝐸1 ∪ 𝐸2 : evento uni˜ ao. 4. 𝐸1 ∩ 𝐸2 ∕= 𝜙: eventos simultˆ aneos. 5. 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝜙: eventos exclusivos.
6. 𝐸 ∩ 𝐸 = 𝜙, 𝐸 ∪ 𝐸 = 𝑆: eventos complementares.
7. parti¸c˜ oes: generaliza¸c˜ ao de eventos complementares.
8. eventos dependentes e eventos independentes (veja Se¸c˜ao 2, probabilidade condicional).
∙ Defini¸c˜ oes 1. Axiom´ atica. (a) 0 ≤ 𝑃 [𝐸] ≤ 1.
(b) 𝑃 [𝑆] = 1.
(c) se 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝜙,
𝑃 [𝐸1 ∪ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸1 ] + 𝑃 [𝐸2 ] .
2. Cl´ assica. 𝑃 [𝐸] =

a
´rea de 𝐸 a ´rea de 𝑆

ou

𝑃 [𝐸] =

(1)
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆) ,

em que

(a) 𝑛 (𝐸) = n´ umero de elementos do evento 𝐸,
(b) 𝑛 (𝑆) = n´ umero de elementos do espa¸co amostral 𝑆.
3. Intuitiva. 𝑃 [𝐸] = lim𝑛→∞

𝑓 𝑎(𝐸)
𝑛 ,

em que

(a) 𝑓 𝑎(𝐸) = frequˆencia absoluta do evento 𝐸
(b) 𝑛 = tamanho da amostra.
1 Faculdade de Computa¸ ca ˜o, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, CP 549, CEP 79070-900, Campo Grande, Mato
Grosso do Sul, Brasil. E-mail: [e-mail] (L.A. Freitas).

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Teoremas do C´ alculo das probabilidades
∙ 𝑃 [𝜙] = 0.
∙ 𝑃 [𝑆] = 1.
[ ]
∙ 𝑃 𝐸 = 1 − 𝑃 [𝐸].
∙ se 𝐸1 e 𝐸2 s˜ ao dois eventos quaisquer de 𝑆,
𝑃 [𝐸1 ∪ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸1 ] + 𝑃 [𝐸2 ] − 𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] .

(2)

Note-se que (1) ´e um caso particular de (2).
∙ probabilidade condicional (eventos dependentes)
𝑃 [𝐸2 ∣𝐸1 ] =

𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ]
, 𝑃 [𝐸1 ] ∕= 0
𝑃 [𝐸1 ]

𝑃 [𝐸1 ∣𝐸2 ] =

ou

𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ]
, 𝑃 [𝐸2 ] ∕= 0.
𝑃 [𝐸2 ]

(3)

∙ regra do produto. De (3), se 𝐸1 e 𝐸2 s˜ao simultˆaneos e dependentes,
𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸1 ] 𝑃 [𝐸2 ∣𝐸1 ]

𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸2 ] 𝑃