Probabilidades

Distribuições de Probabilidade

Júlio Osório

Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais

Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem uma distribuição normal de parâmetros µ (média) e σ (desviopadrão) se a respectiva função de densidade de probabilidade for:
1  x−µ  1 − . f (x) = N(x; µ,σ ) = .e 2  σ    2π .σ
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sendo X e µ∈]-∞, +∞[ e σ>0. • Na expressão, e é a constante que representa a base dos logaritmos naturais (e=2.71828…) e π a área de um círculo com raio unitário (π=3.14159…).

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Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais
A distribuição normal é a distribuição teórica de probabilidades que está na base da concepção da maioria dos métodos inferenciais estudados nesta disciplina. Muitas (mas não todas!) das características mensuráveis ocorrentes na Natureza tem uma distribuição aproximadamente normal. Foi descrita em primeiro lugar pelo matemático de origem francesa Abraham De Moivre (1667-1754) como sendo a forma limite de uma distribuiçâo binomial em que p≈q e n→∞. Vários outros matemáticos deram contributos importantes para o seu estudo, como Pierre-Simon Laplace (1749-1827) e Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Em homenagem a este último, a distribuição normal é muitas vezes designada por distribuição de Gauss. Karl Pearson (1920) baptizou-a de “normal” para evitar “uma questão internacional de prioridades”. A curva normal tem a forma de sino e é simétrica em torno da respectiva média µ, à qual corresponde o “pico” do sino (máximo). Apresenta dois pontos de inflexão, em x=µ-σ e x=µ+σ, sendo côncava para baixo no intervalo entre estes dois valores e côncava para cima para fora deles. É assimptotótica relativamente ao eixo das abcissas, isto é f(x) nunca chega atingir um valor igual a zero.

Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais

A função de distribuição acumulada de variável aleatória normal X é definida por:

F( x ) = ∫−∞ x 1  x −µ  1 .e−2. σ  .dx