Princípo da indução em análise se sistemas

O Princípio de Indução Completa As ciências naturais utilizam o método chamado de indução empírica para formular leis que devem regar determinar fenômenos a partir de um grande número de observações particulares, selecionadas adequadamente. Este tipo de procedimento, embora não seja logicamente correto, é freqüentemente satisfatório: por exemplo, ninguém duvidaria de que quando um corpo é liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície da Terra, ele cai segundo a vertical local. A validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente diferente. Verificar que uma certa afirmação é verdadeira num grande número de casos particulares não nos permitirá concluir que ela é válida em geral. Com efeito, dada a expressão f(n) = n²-n+41, considere a seguinte afirmação: para cada inteiro positivo n, o valor de f(n) é um número primo (estamos supondo aqui que o leitor está familiarizado com a noção de número primo. Para n = 1 temos que f(1) = 41. Da mesma forma, f(2) = 43, f(3)=47, caso fossemos fazendo estas contas poderíamos verificar que a afirmação é verdadeira para os primeiros 40 valores de n. Porem para n= 41 temos que f(41) = 41x41 que não é um número primo. Consideremos então uma afirmação como a seguinte: a soma dos n primeiros inteiros positivos é igual a n(n+1), ou símbolos: 2 1 + 2 + 3 +...+ n - n(n+1) 2 Como verificar sua validade ? Evidentemente, é impossível demonstra-la em todos os casos particulares. Para demonstrar a verdade deste tipo de propósito, que na realidade é uma seqüência infinita de proposições, uma para cada inteiro positivo Introduziremos o chamado método de recorrência ou de Indução completa. Para isso, começaremos demonstrando o seguinte resultado: Teorema - Sejam a um Inteiro dado e S um conjunto de inteiros maiores ou iguais a que tem as seguintes propriedades: a (S Se um Inteiro k >= a pertence a S, então k+1 também pertence a S Então S é o conjunto de todos os Inteiros Demonstração Suponhamos que a afirmação seja falsa.