Primeiro princípio de indução - fundamentos da matemática

Indução Matemática (nota 1) Considere as duas seguintes proposições: 1) Para todo inteiro 2) Para todo inteiro Tentemos para 1) Para Para Para Para

Allef Santos da Silva (Matemática)

é primo.

em ambas as afirmações acima. . Logo a afirmação é verdadeira. . Logo a afirmação também é verdadeira para . Logo a afirmação também é verdadeira. . Logo a afirmação é verdadeira para .

Observando esses resultados, somos tentados a afirmar que para todo 2) Para Para Para Para Para Para temos temos temos temos temos temos , é primo. é primo. é primo. é primo. é primo. é primo.

A partir desses resultados, gostaríamos de afirmar que é primo sempre que é um inteiro . Esse tipo de argumentação é inadmissível em matemática, salvo quando o conjunto universo da variável é finito. Experimentando todos os valores de e comprovando que a afirmação é verdadeira para todos eles, concluímos que a proposição quantificada com o quantificador universal é verdadeira. Se o conjunto universo da variável é infinito, então é impossível experimentando valores dizer que a proposição quantificada com o quantificador universal é verdadeira. A prova de que uma proposição quantificada com o quantificador universal é verdadeira exige algumas vezes uma ferramenta especial chamada de Método de Indução que apresentaremos a seguir. A proposição 1 apresentada no inicio é verdadeira, enquanto que a proposição 2 é falsa. Para que não é um numero primo. Curiosamente, essa afirmação é verdadeira para todos os inteiros

O Método de Indução se baseia no Principio do Menor Principio, precisaremos de algumas definições. Definição: Dizemos que um conjunto não vazio contido em inferiormente quando existe , tal que para todo . é limitado

Cada elemento de que satisfaz essa condição é chamado de cota inferior ou limite inferior de . Se é uma cota inferior de , então qualquer inteiro será também cota inferior de . Se é cota inferior de e , dizemos que é o mínimo de ou é menor elemento de . Tal elemento