Porticos

Neste capítulo, apresentamos uma coletânea de exercícios resolvidos relacionados a várias aplicações. Todo o conteúdo deste capítulo foi gentilmente cedido pelo professor Augusto César de Castro Barbosa do Departamento de
Análise do IME/UERJ, a quem a autora agradece.
7.1 Aplicações à Biologia
1. Numa colméia, a razão de crescimento da população é uma função da população.
Assim
dp dt = f(p).
a) Calcular p(t) para f(p) = βp, onde β é uma constante positiva, e determinar a população limite do sistema. dp dt
= βp )
1
p dp = βdt )
Z
1 p dp = β
Z
dt ) ln p = βt + c p = et+c ) p(t) = ket, onde k = ec p(0) = p0 ) p0 = ke.0 ) k = p0 p(t) = p0et
No cálculo da população limite (supondo p0 > 0) temos p(t) = p0et ) lim t→∞ p(t) = +1
170
b) Encontrar p(t) para f(p) = βp−k2p2, onde β e k são constantes positivas.
Calcular novamente a população limite do sistema. dp dt
= βp − kp2 )
1
βp − kp2 dp = dt βp − kp2 = −(kp2 − βp) = −k

p2 − β k p 
= −k

p2 − β k p ± β2 4k2

= −k
"
p − β 2k
2
− β2 4k2
#
Z
1
βp − kp2 dp = −
1
k
Z
1 p − β 2k
!2
− β2 4k2 dp 
Sejam u = p − β 2k
, a = β 2k

u=a sec , du=a sec  tg d
= −
1
k
Z
1 u2 − a2 du = −
1
k
Z
a sec θ tg θ a2(sec2 θ − 1) dθ = −
1
k
Z
a sec θ tg θ a2 tg2 θ dθ = −
1
ak
Z
sec θ tg θ dθ = −
1
ak
Z
1 sen θ dθ = −
1
ak
Z
cossec θdθ
= −
1
ak ln(cossec θ − cotg θ) + c a u t  sec θ = u a ) cos θ = a u u2 = a2 + t2 ) t = pu2 − a2 sen θ = pu2 − a2 u ) cossec θ = u pu2 − a2 tg θ = sen θ cos θ
=
pu2 − a2 a ) cotg θ = a pu2 − a2
171
−
1
k
Z
1 u2 − a2 du = −
1
ak ln  u − a pu2 − a2

= −
1
ak ln " u − a p
(u − a)(u + a)
#
= −
1
ak ln r u − a u + a
Z
1 βp − kp2 dp = −
1
ak ln r u − a u + a
Temos então que
−
1 ak ln r u − a u + a
= t + c1 ) −
1
2ak ln  u − a u + a

= t + c1
) ln

u − a u + a

= −2akt + c2 onde c2 =