ponto a reta

Distˆncia de ponto a reta a O objetivo deste texto ´ deduzir a f´rmula da distˆncia de ponto a reta, no plano, quando s˜o e o a a dadas as coordenadas do ponto e a equa¸˜o geral da reta, em um sistema de coordenadas fixado. A ca ´ dedu¸˜o apresentada aqui foi baseada no livro Geometria Anal´ ca ıtica e Algebra Linear, de Elon Lages
Lima. Algumas contas simples – por´m trabalhosas – omitidas no livro de Elon s˜o apresentadas e a mais detalhadamente aqui.
Al´m da tradicional f´rmula da distˆncia entre pontos – cuja dedu¸˜o ´ uma aplica¸˜o imediata e o a ca e ca do Teorema de Pit´goras – assumiremos apena um resultado, demonstrado em sala de aula e no a livro do Elon, que enunciamos a seguir:
Afirma¸˜o 1 Sejam r uma reta no plano e ax + by = c uma equa¸˜o geral da reta r, em um ca ca sistema de coordenadas ortogonal fixado, onde a, b, c s˜o constantes reais. Ent˜o qualquer reta s a a perpendicular ` reta r possui uma equa¸˜o geral da forma bx − ay = d, para algum n´mero real d. a ca u Reciprocamente, qualquer reta que possui uma equa¸˜o da forma bx − ay = d ´ perpendicular ` reta ca e a r.
Notemos que a equa¸˜o da reta na forma geral n˜o ´ unica. De fato, se multimplicarmos todos ca a e´ os termos de uma equa¸˜o geral por um mesmo n´mero real diferente de 0 obtemos outra equa¸˜o ca u ca para a mesma reta. Por isso na afirma¸˜o acima dizemos que a reta s tem uma equa¸˜o da forma ca ca bx − ay = d, e n˜o devemos dizer que a equa¸˜o da reta s ´ da forma bx − ay = d. a ca e Teorema 1 Sejam r uma reta no plano e ax + by = c uma equa¸ao da reta r em um sistema de c˜ coordenadas ortogonal fixado. Seja P um ponto do plano de coordenadas (x0 , y0 ). Ent˜o a distˆncia a a de P a r ´ igual a e |ax0 + by0 − c|
√
a2 + b2
Demonstra¸˜o: Considere s a reta perpendicular ` reta r que passa pelo ponto P . Pela afirma¸˜o ca a ca 1 podemos escrever uma equa¸˜o da reta s na forma ca bx − ay = d
Como P pertence ` reta s,