polos e zeros

Pólos, Zeros e Estabilidade

Definindo Estabilidade
• A condição para estabilidade pode também ser expressa da seguinte maneira: se um sistema é estável quando sujeito a um impulso, a saída retoma a zero.
• Em termos mecânicos podemos dizer que um objeto está em equilíbrio estável se, quando empurrado, ele retoma a sua posição original depois de cessado o impulso.

• Um sistema pode ser dito estável se para entradas limitadas, isto é, finitas, geram saídas limitadas.

Pólos e Zeros
• Uma função de transferência em malha fechada G(s) de um sistema pode, em geral, ser representada por:

K ( s m + am −1s m −1 + am −2 s m − 2 + ... + a1s + a0 )
G ( s) = s n + bn −1s n −1 + bn − 2 s n − 2 + ... + b1s + b0
Ou

PÓLOS
ZEROS
K

K ( s + z1 )( s + z2 )...( s + zm )
G ( s) =
( s + p1 )( s + p2 )...( s + pn ) raízes do denominador de G(s) (-p1, -p2, ... –pn ). raízes do numerador de G(s) (-z1, -z2, ... –zm ). é uma constante que define o ganho do sistema.

Pólos e Zeros
• Os zeros são os valores de s para os quais a função de transferência é zero.
Os pólos são os valores de s para os quais a função de transferência é infinita, isto é, eles fazem o denominador tornar-se zero.
• Pólos e zeros podem ser quantidades complexas ou reais.
• Em geral, pólos e zeros podem ser escritos como:

s = σ + jω onde: σ é a parte real do pólo ou zero. jω é a parte complexa do pólo ou zero.

Exemplo:
1) Quais são os pólos e zeros dos sistemas, dadas as seguintes funções de transferência de malha fechada?

Exercício:
2) Quais são as funções de transferência dos sistemas tendo os seguintes pólos e zeros?
(a) Pólos -1, - 2; nenhum zero.
(b) Pólos +1, - 2: zero 0.
(c) Pólos (-2 ± j1): zero +1.
(d) Pólos (1 ± j2): zero -1.

Diagrama de Pólos e Zeros
• Os pólos e zeros de uma função de transferência podem ser representados em um diagrama de pólos e zeros

• O gráfico bidimensional é conhecido como plano s. Pólos ou zeros no semiplano esquerdo do gráfico são todos negativos; pólos ou zeros no