polinomios simetricos

POLINÔMIOS SIMÉTRICOS
Carlos A. Gomes, UFRN, Natal – RN.

 Nível Avançado

Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares, na resolução de algumas equações irracionais são as funções polinomiais simétricas, que apesar de seu grande poder algébrico são pouco divulgadas entre os nossos alunos. A finalidade deste breve artigo é exibir de modo sucinto como estas ferramentas podem ser úteis na resolução de alguns problemas olímpicos.

I. Polinômios Simétricos

Um polinômio f, a duas variáveis x, y, é dito simétrico quando f(x, y) = f (y, x) para todos os valores x, y.

Exemplos:
a) 1 = x + y e 2 = x · y, são evidentemente polinômios simétricos (chamados polinômios simétricos elementares).

b) Os polinômios da forma Sn = xn + yn, com n N também são simétricos. Um fato importante a ser observado é que um polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em função de 1 e 2. Vejamos:

Se Sn = xn + yn, n N, (n 2), então:
Sn = xn + yn = (x + y) (xn–1 + yn–1) – xy (xn – 2 + yn – 2) = 1 · Sn – 1 – 2 · Sn – 2 (n 2)
Mas,
S0 = x0 + y0 = 1 + 1 = 2
S1 = x1 + y1 = x + y = 1

Assim temos que:
S0 = 2
S1 = 1
S2 = 1 · S1 –2 · S0 = 1 · 1 –2 · 2 = 12 – 22
S3 = 1 · S2 –2 · S1 = 1 (12 – 22) –2 · 1 = 13 – 31 · 2

E daí usando a lei de recorrência Sn = 1 Sn – 1 – 2 Sn – 2 (n 2) podemos determinar Sn em função de 1 e 2 para qualquer número natural n.
Agora para garantirmos a afirmação anterior que todo polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em 1 e 2 observemos o seguinte fato:

Num polinômio simétrico f(x, y) para os termos da forma a . xK . yK não temos nenhum problema pois a · xK · yK = a(x · y)K = a · 2K. Agora com os termos da forma b · xi · yK, com i < k devemos observar o seguinte fato: Como, por hipótese, f(x, y) é simétrico se b · xi · yk, com i < k estiver presente em f(x, y) temos que b · xk