Polaridade e solubilidade

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:
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v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:
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v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48
O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:
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v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0

Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.

Aplicações do Produto Vetorial
Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.
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A(paralelogramo) = | v × w |
Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:
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A(triângulo) = ½ | v × w |

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Produto misto
Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante
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[u,v,w] = u·(v×w) =

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Aplicações do Produto Misto
Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.
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