Plinio soluçoes cap 2
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Teoria dos Números Capítulo 2 (Exercícios)1. Mostrar que 47 | 223 1.
Para mostrar que 47 | 2 1, devemos mostrar que 2 ≡ 1 (mod 47).
23
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Notemos que 2 = 1024 = 37 + 47 21. Ou seja, 2 ≡ 37 (mod 47) ⇒ 2 ≡ 10 (mod 47).
10
10
10 2
2
10
20
20
Então, [2 ] ≡ (10) (mod 47) ⇒ 2 ≡ 100 (mod 47) ⇒ 2 ≡ 6 (mod 47) (I)
Vejamos, agora, que 2 = 8 = 47 39, ou seja, 2 ≡ 39 (mod 47) (II).
3
3
De (I) e (II), (2 2 ) ≡ 6 (39) (mod 47) ⇒ 2 ≡ 234 (mod 47).
20
3
23
Mas, 234 = 1 47 5, então 2 ≡ 1 (mod 47).
23
∎
2.
Encontrar o resto da divisão de 734 por 51 e o resto da divisão de 563 por 29.
i) Vejamos que 7 ≡ 2 (mod 51). Então, (7 ) ≡ (2) (mod 51) ⇒ 7 ≡ 2 (mod 51). (I)
2
2 17
≡
Porém,
17
34
17
} ⇒ 2 2 ≡ 4 26 (mod 51) ⇒ 217 ≡ 104 (mod 51) ⇒ 2 ≡ 2 (mod 51).
10
7
17
≡
Dessa forma, 2 ≡ 2 (mod 51) ⇒ 2 ≡ 49 (mod 51). (II)
17
17
34
34
De (I) e (II), temos que 7 ≡ 49 (mod 51), o que indica que o resto da divisão de 7 por 51 é 49.
3
63
21
2
63
42
ii) Notemos que 5 ≡ 9 (mod 29), o que nos dá: 5 ≡ 9 (mod 29). Como 9 = 3 , 5 ≡ 3 (mod 29) (I)
Mas, 3 ≡ 2 (mod 29) ⇒ 3 ≡ (2) (mod 29) ⇒ 3 ≡ 2 (mod 29) (II)
3
42
16
8
42
8 2
16
2
16
16
No entanto, 2 ≡ 13 (mod 29) ⇒ (2 ) ≡ 13 (mod 29) ⇒ 2 ≡ 169 (mod 29) ⇒ 2 ≡ 24 (mod 29) (III).
63
63
De (I), (II) e (III), temos que 5 ≡ 24 (mod 29), ou seja, o resto da divisão de 5 por 29 é 24.
3.
Mostrar que se p é um ímpar e a2 + 2b2 = 2p, então “a” é par e “b” é ímpar.
Teremos 4 casos:
1º Caso: “a” par e “b” par
Dessa forma, teremos: a = 2x e b = 2y (x e y inteiros).
2
2
2
2
2
2
2
2
Então, a + 2b = 4x + 8y = 4(x + 2y ).
2
2
2
2
Já que a + 2b = 2p, temos que 4(x + 2y ) = 2p ⇒ p = 2(x + 2y ), o que é um absurdo, pois p é ímpar.
2º Caso: “a” ímpar e “b” par
Dessa forma, teremos: a = 2x + 1 e b = 2y (x e y inteiros).
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2
2
2
2
2
2
2
Então, a + 2b = (2x + 1) + 2(2y) = 4(x + 4x + y ) + 1, o que é absurdo, pois a + 2b = 2p.
3º Caso: “a” ímpar e “b” ímpar
Dessa forma,