Plano inclinado

Plano Inclinado Dadas duas trajetórias:

Em qual delas é "mais fácil" carregar o bloco?
Obviamente, na trajetória inclinada, pois no primeiro caso, teremos que realizar uma força que seja maior que o peso do corpo. Já no segundo caso, Devemos fazer uma força que seja maior que uma das componentes de seu peso, neste caso, a componente horizontal, que terá intensidade menor conforme o ângulo formado for menor.
Por isso, no nosso cotidiano, usamos muito o plano inclinado para facilitar certas tarefas.
Ao analisarmos as forças que atuam sobre um corpo em um plano inclinado, temos:

A força Peso e a força Normal, neste caso, não tem o mesma direção pois, como já vimos, a força Peso, é causada pela aceleração da gravidade, que tem origem no centro da Terra, logo a força Peso têm sempre direção vertical. Já a força Normal é a força de reação, e têm origem na superfície onde o movimento ocorre, logo tem um ângulo igual ao plano do movimento.
Para que seja possível realizar este cálculo devemos estabelecer algumas relações:

Podemos definir o plano cartesiano com inclinação igual ao plano inclinado, ou seja, com o eixo x formando um ângulo igual ao do plano, e o eixo y, perpendicular ao eixo x;
A força Normal será igual à decomposição da força Peso no eixo y;
A decomposição da força Peso no eixo x será a responsável pelo deslocamento do bloco;
O ângulo formado entre a força Peso e a sua decomposição no eixo y, será igual ao ângulo formado entre o plano e a horizontal;
Se houver força de atrito, esta se oporá ao movimento, neste caso, apontará para cima.
Sabendo isto podemos dividir as resultantes da força em cada direção:
Em y:

como o bloco não se desloca para baixo e nem para cima, esta resultante é nula, então:

mas

então:

Em x:

mas

então:

Exemplo:
Um corpo de massa 12kg é abandonado sobre um plano inclinado formando 30° com a horizontal. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o plano é 0,2. Qual é a