PARTE 1 ZEROS DE FUNCOES CALCULO NUMERICO 2015 1 Cassius

CÁLCULO NUMÉRICO
PARTE 1:
ZEROS DE FUNÇÕES
Prof. Msc. Cassius Gomes

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► O problema

para determinar um zero de uma função real 𝑓 contínua em um intervalo 𝐼, é determinar, se existir, um número 𝑥 ∈ ℝ pertencente ao domínio da função 𝑓, tal que:
𝑓 𝑥 =0

► Em

geral o cálculo do zero de uma função qualquer não é um problema trivial, a não ser que a função seja um polinômio com raízes inteiras, uma função quadrática ou uma função linear onde já existem fórmulas específicas. Por exemplo (Baskara).

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EXEMPLO: Determine, se existir, um zero da função real: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − cos⁡(𝑥)
► Através

de técnicas numéricas, é possível, obter uma solução aproximada, em alguns casos, tão próxima da solução exata quanto se deseja.

► Graficamente,

os zeros ou raízes de uma função, são os pontos onde o gráfico da função intercepta o eixo
𝑥.

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EXEMPLOS:
(1) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) infinitas raízes.

para 𝑥 ∈ (−∞, +∞)⁡ , possui

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(b) 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 5, para 𝑥 ∈ (−∞, +∞), não possui raiz real. ZEROS DE FUNÇÕES

(3) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − cos⁡(𝑥) , possui uma raiz real no intervalo 𝑥 ∈ [0, 1].

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processo para determinarmos uma raiz 𝑥
(ou zero), se existir, de uma função 𝑓, consiste basicamente em duas etapas:

►O

(1) Obter um intervalo 𝑰 que contém pelo menos uma raiz 𝑥 (ou zero) da função 𝑓;
(2) É o refinamento, ou seja, a partir de uma aproximação inicial, utilizando um método numérico adequado, construímos aproximações sucessivas para a raiz 𝑥

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► TEOREMA

DE BOLZANO – CAUCHY (TEOREMA DO
VALOR INTERMEDIÁRIO): Se uma função 𝑓 de uma variável real é contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏], com 𝑓 𝑎 ≤ 𝑁 ≤ 𝑓(𝑏), então existe 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], tal que: 𝑓 𝑐 =𝑁
PARTICULAR 𝑵 = 𝟎: Se uma função 𝑓 é contínua no intervalo fechado [𝑎, 𝑏] , com
𝒇 𝒂 𝒇 𝒃 < 𝟎,⁡ então existe 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , tal que
𝒇 𝒙 = 𝟎.

► CASO

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EXERCÍCIO: Determine, se existir, pelo