Pap matemática

Colégio Imaculada Conceição
Instituto Inácio Loyola

Trabalho de Matemática
(Função logística)
André Teixeira
Nº680
12ºD

Introdução:
Nas populações dos seres vivos, o modelo exponencial tem limitações, visto que se no inicio de vida de uma população, a taxa de crescimento pode ser proporcional ao tamanho da população, a partir de certa altura, a taxa de crescimento começa a abrandar, quer por falta de espaço quer por falta de comida Um modelo aceitável para explicar o crescimento de uma população biológica, a longo prazo, passa por admitir que existe uma população máxima (população sustentada). No século 19 o biologista belga P. F. Verhulst provou experimentalmente que para estas populações a taxa de crescimento é proporcional, quer à população atual quer à diferença entre a população sustentada e a população atual.

Problema:
Num lago uma equipa de biólogos estuda o crescimento da população de peixes, durante um ano obtendo os seguintes resultados: Tempo em meses | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | Nº peixes | 200 | 635 | 1837 | 4276 | 7126 | 8917 | 9647 | 9891 | 9966 | 9990 | 9996 | 9999 | 10000 |

Introduzimos os dados contidos na tabela em L1 e L2, na máquina gráfica, depois calculamos a função exponencial

Função exponencial
Y ꞊ a*b
A ꞊ 994.01
B ꞊ 1.29

Recorrendo outra vez á máquina gráfica, vamos calcular a função logística.

Função logística
Y ꞊ c/ (1+ a e^ (- bx))
A ꞊ 48.97
B ꞊ 1.19

O modelo logístico é do tipo: fx = c1+ae-bx
Logo, no nosso problema em estudo, a função logística é: fx = 9999.761+48.97e-1.19x
A função exponencial está representada sem factores que a condicionem, tais como a quantidade de alimento e o espaço disponível, logo este não é o modelo mais adequado. Porque o gráfico não é constante.
Já a função logística admite que, no início, a população cresce quase exponencialmente, mas, a partir de certa altura, tende a estabilizar, daí parecer ser este o modelo adequado ao