Oscilações mecânicas

Oscilações mecânicas

Resumo: Análise de movimentos oscilatórios do tipo massa-mola, que envolvem equações diferenciais não homogêneas, cuja solução será mostrada de forma simplificada.

Oscilador Amortecido:
Num sistema massa-mola em que um corpo está submerso num líquido, a energia mecânica se dissipa em calor e a amplitude x(t) diminui com o tempo. A força viscosa amortecedora pode ser representada por:
Fa=-bdxdt
onde b é uma constante que descreve a intensidade do amortecimento.
Portanto:
md2xdt2=-kx-bdxdt que é uma equação do tipo:
Ad2xdt2+Bdxdt+Cx=0
cuja solução é dada por: xt=x0e-(B2A)tcosωt onde xo e ω são constantes e : ω=CA-B2(4A2) No caso do sistema massa-mola amortecido: x(t)= x0e(-b/2m)tcosω1t onde xo é a amplitude máxima e ω1, a frequência angular é dada por: ω1=km-b24m2 onde b2m=γ e ω0=km Portanto: ω1=km-γ2=ωo1-γ2ωo2 ou: ω12=ωo2-γ2 A distinção de ωo e ω1 é muito pequena, apesar de ω1>ωo. Mas a amplitude x(t) decai exponencialmente até zerar, quanto maior o valor de b, mais rápido é esse decaimento.
Oscilador Amortecido forçado:
Quando uma força externa é aplicada num oscilador temos: md2xdt2+bdxdt+kx=FocosΩt cuja solução é dada por: xt=xoΩcos⁡(Ωt-δ) Então, a amplitude máxima de oscilação será: xoΩ=Fo(k-mΩ2)2+b2Ω2=Fom(ωo2-Ω2)2+4γ2Ω2 x0(Ω) será máximo quando:
Ωr=ωo2-2γ2
que é a frequência de ressonância.

Prática:
1) Oscilador Livre.
Determine o valor da constante elástica da mola, k, e a frequência angular de oscilação do oscilador livre, ωo , conhecendo seu período de oscilação, T1 ;
Utilizando a equação: ωo=2πTo=k2m2 E em posse dos dados:
To=1,74s
To=1,76s => To=1,76±0,05s
To=1,76s
m=36,430±0,001g temos que: k=0,467±0,002 ωo=3,58±0,05Hz

2) Oscilador amortecido.
a) Determine o valor da frequência angular do oscilador amortecido, ω1 , conhecendo seu período de oscilação, T1;
Utilizando a equação: ω1=2πT1 e em posse dos