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LIMITE DE UMA FUNÇÃO A UMA VARIÁVEL REAL

NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Intuitivamente, falar que o limite de uma função f(x), quando x tende a p, é igual a L, o qual escrevemos simbolicamente:

significa que quando x se aproxima de p, tanto pela direita, quanto pela esquerda, o valor da função se aproxima de L.
Observe:
y f f(x) f(p) f(x)



  x x

p

x

Quando x tende a p, f(x) tende a f(p):
Obs: Intuitivamente, espera-se que se a função está definida em p e for continua em p, então y

f(x)
L
f(x)





  p x

x

Quando x tende a p, f(x) tende a L:

x

Por outro lado, se f não é continua em p e deveria ter em p.

, então L será o valor que f

Veja o exemplo abaixo:
Seja a função f(x) = 2x +1. Vamos atribuir valores para x proximos de 1, pela sua direita ( Valores maiores que 1 ) e pela sua esquerda ( Valores menores que 1 ), e em seguida, calcular y. x y = 2x + 1

x

y = 2x + 1

1,5

4

0,5

2

1,3

3,6

0,7

2,4

1,1

3,2

0,9

2,8

1,05

3,1

0,95

2,9

1,02

3,04

0,98

2,96

1,01

3,02

0,99

2,98

y y= 2x + 1

3

0

x
1

À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1
( x  1 ), y tende a 3 ( y  3 ), então temos a notação:

DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE:
Seja um intervalo aberto I, contendo p, e seja f(x), uma função definida em I, exceto possivelmente no próprio p. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de p é igual a L, cuja notação é
, se para todo  > 0 dado, existir um  > 0 tal que, para todo x  I, temos:

Tal número L, que quando existe é único, será indicado por

Analise os gráficos abaixo:

a)

y

f

L+
L



L- p- p

P+

x

f não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade: para todo  > 0 dado, existe um  > 0 tal que, para todo x  I,


b)

y f(p) f

L+
L



L- p- p

P+

x

f está definida