Números Complexos

RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS

Forma algébrica e geométrica
Um número complexo é um número da forma a + bi, com a e b reais e i = −1 (ou, i2 = -1), chamaremos: a – parte real; b – parte imaginária; e i – unidade imaginária.
Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = a + bi é representado pelo ponto P(a, b). O ponto P é chamado de imagem (ou afixo) do complexo z. O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de
Argand-Gauss. O eixo dos x é chamado de eixo real e o eixo dos y é chamado de eixo imaginário.
Em particular o número complexo z = a + bi, será chamado: imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0; imaginário se a ≠ 0 e b ≠ 0; real se b = 0.

POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA
As potências de i apresentam um comportamento interessante. Essas potências se repetem em ciclos de 4 e para qualquer potência natural n de i corresponderá a uma das seguintes possibilidades: i0 = 1; i1 = i; i2 = –1; i3 = –i.
Observe que n pode ser escrito como n = 4q + r, onde q é quociente e r é o resto da divisão de n por 4, assim:

i n = i 4 q + r = i 4 q .i r = ( i 4 ) .i r = 1q.i r = i r . q IGUALDADE
Os complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i são iguais se, e somente se, a1 = a2 e b1 = b2.

OPERAÇÃO DE ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Definem-se, no conjunto dos complexos, as operações usuais, válidas para os números reais, isto é, para efetuarmos a adição/subtração entre complexos basta adicionar/subtrair as partes reais e imaginárias ordenadamente, para efetuarmos a multiplicação entre complexos basta usarmos a distributividade entre seus elementos.

CONJUGADO
O conjugado do complexo z = a + bi, a e b reais, é o complexo z = a – bi. Os complexos conjugados tem imagens simétricas em relação ao eixo real. Fazendo z.z obtemos a norma de z, um número real.

DIVISÃO
Para dividir números complexos, multiplicamos dividendo e divisor pelo conjugado do divisor, o que transforma o problema em uma divisão