Números complexos na álgebra linear

APLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM ÁLGEBRA LINEAR

Observando a resolução da seguinte equação: x² -x + 5 = 0 pela fórmula: x=-b±b²-4ac2a , válida para equações da forma ax² + bx + c=0.
Temos; Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.5 = -4. Logo x = (4 ± -4)2. Como Δ = - 4 é negativo, no cálculo de x temos uma indeterminação, pois vemos dentro da raiz um valor negativo.
Sabemos que não há raiz quadrada de número negativo, pois não há numero que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Com isso se tornou impossível resolver a equação no conjunto dos números reais.
Para tentar resolver problemas como esses alguns matemáticos procuraram outros campos numéricos. No século XVI, em Bolonha, Girolando Cardano (1501-1576) e Rafaele Bombelli (1526-1573) deram os primeiros passos no esclarecimento sobre esse conjunto de números, os números complexos.
Podemos demonstrar um número complexo z por um par ordenado (x,y). Se observarmos: O par ordenado (x,0) = x, teremos um número real.
O par ordenado (0,y) = i, teremos um número imaginário.
O par ordenado (x,y) é um número complexo.
Na definição de número complexo temos que i = -1.
Para qualquer número complexo valem as seguintes operações:
Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2)

* (x1, y1) = (x2, y2), logo x1 = x2 e y1 = y2 * z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2) * z1 z2 = (x1, y1) x (x2, y2) = (x1 x2 - y1 y2) + (x1 y2 +x2 y1)i * z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22 +y22 ) + (x2 y1 - x1 y2)i / (x22 +y22 ) * Todo número complexo e não real pode ser escrito como: z = (x,y) = x + yi.
Ex.: z1 (2.1) e z2 (1.1)
Calcular: z1 + z2, z1 x z2 e z1/ z2
Z1 + z2 = (2,1) + (1,1) = 3 + 2i
Z1.z2 = (2 – 1) + (2+1)i = 1 + 3i z1/ z2 = (2 + 1)/(1 + 1) + (1 – 2)/(1 + 1) = 1 - 12 i

Para adição, subtração e multiplicação valem as seguintes proposições: * z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa) * z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa) * z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3