NÃO POSSUO TRABALHOS

Integral Definida

Notas de aula - profa. Marlene -

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2008-2

- Departamento de Matem´tica Aplicada (GMA) a Notas de aula

- 2008-2

Profa. Marlene Dieguez Fernandez

Integral definida
Observa¸˜o: esse texto cont´m apenas a parte te´rica desse assunto, n˜o est˜o aqui os exemplos e exerc´ ca e o a a ıcios que s˜o a parte integrantes desse assunto.

Come¸aremos introduzindo alguns novos termos e nomenclaturas necess´rios para o entendimento da integral c a definida. Parti¸˜o de um intervalo fechado e limitado ca Escolha n´meros u xi , i = 0, · · · , n

no intervalo

[a, b],

da seguinte forma:

a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b
✲
a = x0

x1

x2 x3

x4

···

xn−1 xn = b

Dessa forma o intervalo [a, b] ficou dividido em n

sub-intervalos do tipo

[xi−1 , xi ] , i = 1, · · · , n.

(Observe que os comprimentos desses intervalos n˜o s˜o necessariamente iguais) a a

O conjunto desses n sub-intervalos ´ denominado parti¸˜o do intervalo [a, b] e denotado por P. e ca
Comprimento ou norma de uma parti¸˜o. ca Denotamos por:
∆xi = xi − xi−1

o comprimento de cada intervalo da parti¸ao. c˜ ∆ = max {∆xi , i = 1, · · · , n}
Verifica-se que

∆ →0

⇒

a norma ou comprimento da parti¸˜o ca n→∞

A Soma de Riemann de uma fun¸˜o f com parti¸˜o P do intervalo [a, b] ca ca
Considere uma fun¸ao f : [a, b] −→ R c˜ y=f(x)

Escolha uma parti¸ao P de [a, b] com n sub-intervalos de compric˜ mentos ∆xi .
Observe na Fig. 1 os valores xi no eixo horizontal.
Escolha em cada [xi−1 , xi ] um valor ci tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi .
Para cada ci podemos calcular f (ci ).
Observe na Fig. 1 que as ordenadas f (ci ) podem ser positivas ou negativas. c1 a=x0 x1

c2

cn xn–1 xn=b

x2

Fig. 1

Define-se a Soma de Riemann de uma fun¸˜o f com parti¸˜o P do intervalo [a, b] por: ca ca n f (ci ) ∆xi

S= i=1 A integral definida de uma fun¸˜o f no intervalo [a, b] ca Considere