Numeros primos

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro a, ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de a.

Suponhamos que a admita uma decomposição do tipo a=p_1, onde p_1 é primo, e que vale

a=p_1=q_1q_2...q_s,

em que {q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s} são primos positivos. Como q_1 divide q_1q_2...q_s, q_1 também divide p_1, que é primo. Então, devemos ter p_1=q_1. Cancelando, vem 1=q_2...q_s. Se s>1, teríamos que o primo q_2 seria invertível, uma contradição. Assim, s=1 e, como já provamos que p_1=q_1, o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento {k}\ge{1}, e seja a um inteiro com uma decomposição de comprimento k+1. Se a admitisse outra decomposição, temos

a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s,

em que {q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s} são primos positivos.

Como na primeira parte, q_1 divide p_1...p_{k+1} e temos que q_1 divide p_i, para algum i (Lema de Euclides). Como p_i é primo, devemos ter novamente que q_1=p_i. Em particular, {q_1}\ge{p_1}.

De forma análoga, pode-se obter que p_1=q_j, para algum j. Logo, {p_1}\ge{q_1}. De ambas as desigualdades, vem que p_1=q_1. Finalmente, cancelando em a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s, temos que

p_2...p_{k+1}=q_2...q_s.

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento k, logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos k=s-1, donde k+1=s e p_i=q_i, para i=2,...,k+1. Como já provamos que p_1=q_1, ambas as expressões de a coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de a, podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da Aritmética[editar | editar código-fonte]
Seja a um inteiro