Numeros naturais

N´meros naturais e cardinalidade u
Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira∗ 5 de Janeiro de 2008

Resumo

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Axiomas de Peano e o princ´ ıpio da indu¸˜o ca

Intuitivamente, o conjunto N dos n´meros naturais corresponde aos n´meros u u 1, 2, 3, . . . . Os chamados axiomas de Peano descrevem as propriedades fundamentais destes n´meros em termos abstratos, atrav´s de trˆs propriedades u e e intuitivas b´sicas. a 1. Existˆncia de sucessor: todo elemento n ∈ N tem um sucessor, chamado e provisoriamente de s(n). Dois elementos distintos de N tˆm sucessores e tamb´m distintos. [Isto implica que a fun¸˜o s : N → N que leva cada e ca natural em seu sucessor ´ injetiva.] e 2. Existˆncia de um primeiro elemento. Existe um elemento de N, chamado e de 1, tal que 1 = s(n) para todo n ∈ N (isto ´, 1 n˜o ´ o sucessor de e a e n´mero algum em N). u 3. Princ´ ıpio da indu¸˜o: seja X ⊂ N um subconjunto tal que 1 ∈ X e ca s(n) ∈ X para todo n ∈ X. Ent˜o X = N. a O ultimo axioma ´ o de mais dif´ compreens˜o. Um exemplo do seu ´ e ıcil a uso ´ dado logo a seguir. e Teorema 1. Para todo n ∈ N, s(n) = n.
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Prova: Seja X = {n ∈ N : s(n) = n}. Veja que X ´ um subconjunto de N. Provaremos que X = N usando o e axioma 3. 1. 1 ∈ X, j´ que, pelo segundo axioma, 1 = s(1). a 2. Se n ∈ X, ent˜o s(n) = n. Como s ´ injetiva, para todos x, y ∈ N com a e x = y tem-se s(x) = s(y). Em particular, para n ∈ X como acima, vˆ-se que s(s(n)) = s(n) (tome x = s(n), y = n). Donde conclu´ e ımos que s(n) ∈ X. Portanto, s(n) ∈ X para qualquer n ∈ X. 2

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Soma, produto e ordem

Agora mostramos como as opera¸˜es b´sicas sobre os naturais podem ser co a definidas a partir dos axiomas. Come¸amos com a adi¸˜o. Ela ´ uma c ca e opera¸˜o que leva um par de n´meros na sua soma, portanto ´ uma fun¸˜o ca u e ca de N × N em N: soma : N × N → N. Fato 1. Existe uma unica fun¸˜o soma como acima tal que para todo p ∈ N: ´ ca • soma(p, 1) = s(p);