Numeros complexos

Conte´ udo 1 N´ umeros Complexos

3

1.1

Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Opera¸c˜oes (na forma alg´ebrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Potˆencias de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Representa¸c˜ao Gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1

2

N´ umeros Complexos

Cap´ıtulo 1
N´
umeros Complexos
1.1

Introdu¸c˜ ao Observa¸ c˜ ao 1.1.1 : Sejam n ∈ Z∗+ e par e a ∈ R∗+ . Sabemos que

√ n −a ∈
/ R.

Observa¸ c˜ ao 1.1.2 : Definido o n´ umero representado por i (chamado unidade imagin´aria) tal que i2 = −1, temos: α ∈ R∗ ⇒ (αi)2 = −α2 .
De fato, (αi)2 = α2 i2 = α2 (−1) = −α2 .
Exemplo(s) 1.1.1 :
• (6i)2 = −36 ⇒

√

−36 := 6i

√
√
√
• ( 2i)2 = −2 ⇒ −2 := 2i.
• A equa¸c˜ ao x2 − 2x + 10 = 0 possui solu¸c˜ ao nesse novo conjunto.

2 + 3i)
2 + 6i /(1


=
= 1 + 3i x1 =



2
/2

√
√
De fato, ∆ = b2 −4ac = 4−4(1)(10) = −36 ⇒ ∆ = −36 = 6i ⇒ e 


2 − 6i /(1
2 − 3i)


=
= 1 − 3i
 x2 =
2
/2 que s˜ao n´ umeros do tipo a + bi, com a, b ∈ R.
Defini¸c˜
ao 1.1.1 : Todo n´ umero que pode ser escrito na forma a + bi com a, b ∈ R ´e denominado n´ umero complexo.
Nota¸c˜
ao:
3

4

N´ umeros Complexos
• C = {z/z = a + bi com a, b ∈ R e i2 = −1}.
• Re(a + bi) := a.
• Im(a + bi) := b.

Observa¸ c˜ ao 1.1.3 :
(a) R ⊂ C pois ∀a ∈ R temos a = a + 0i (b = 0);
(b) b = 0 ⇒ z ´e real;
(c) b ̸= 0 ⇒ z ´e dito imagin´ario;
(d) a = 0 e b ̸= 0 ⇒ z ´e dito imagin´ario puro;
(e) Sejam z = a + bi ∈ C e w = c + di ∈ C. z = w ⇔ a = c e b = d.
Exec´ıcio(s) 1.1.1 : Determinar α (α ∈ R) para que o complexo z = (α2 − 1) + (α + 1)i seja