Numerico

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FP3 - Ex 5) Calcule uma aproximação do menor zero positivo da função f(x) = cos(x3) – ln x, utilizando o método de Newton-Raphson, por forma a que | f(x) | < 10-13 .

Pelo gráfico da função verifica-se que o menor zero positivo da função encontra-se no intervalo I=[1, 1.2]. Devemos agora verificar analiticamente se o método de NewtonRaphson converge para o único zero, r≈1.1311, deste intervalo.
1) f(a) x f(b) < 0
>> y = f5(1) y= 0.5403 % f(x)

>> y = f5(1.2) y= -0.3389 % f(x)

2) f’(x) ≠ 0 , ∀ x ∈ I f’(x) = -3 x2 sin(x3) - 1/x < 0, ∀ x ∈ I

Teorema: (condições suficientes de convergência do método de Newton-Raphson):
Seja f uma função C2[a, b] .
Se forem satisfeitas as condições:
1) f(a) . f(b) < 0
2) f '(x) ≠ 0 , ∀ x ∈ [a, b]
3) f ‘'(x) ≠ 0, ∀ x ∈ [a, b]
4)

f (a)
< (b − a ) f ´(a)

e

f (b)
< (b − a) f ´(b)

então ∀ x0 ∈ [a, b] o método de Newton-Raphson converge para o único zero α de f(x) em I= [a, b] .

3) f’’(x) ≠ 0 , ∀ x ∈ I
(não muda de sinal em I) f’’(x) = - 9 x4 cos(x3) - 6 x sin(x3) + 1/x2 < 0, ∀ x ∈ I
(Note que cos(x3) ≤ 1 e sin(x3) ≤ 1 então aproximadamente
- 9 x4 cos(x3) - 6 x sin(x3) + 1/x2 < - 9 x4- 6 x + 1/x2 , como o primeiro termo é negativo e de ordem x4 e o segundo também negativo e de ordem linear, a soma dos termos negativos deve prevalecer sobre o terceiro termo positivo que decresce quadráticamente e é sempre ≤ 1 )

2

f (a) f (b)
< (b − a) e
< (b − a ) f ´(a) f ´(b)

4)

>> [y, y1] = f5(1) y= 0.5403 % f(x) y1 =
-3.5244 % f’(x)

>> [y, y1] = f5(1.2) y= -0.3389 % f(x) y1 =
-5.1001 % f’(x)

f (1.2)
− 0.3389
=
≈ 0.06664 < 0.2 f ´(1.2) − 5.1001

f (1)
0.5403
=
≈ 0.1533 < 0.2 , f ´(1) − 3.5244

Assim, para qualquer aproximação inicial xo ∈ I, o método de Newton-Raphson converge para a único zero r≈1.1311 do intervalo I=[1, 1.2].

Aproximar o menor zero positivo de f(x) pelo método de Newton-Raphson
Aproximação Inicial: x0= 1
Fórmula Iteradora:

x k =