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3.2 - Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel
A forma mais simples de se determinar a matriz H, a partir do sistema Ax = b é a seguinte:
Seja A a matriz do sistema, da forma
A = (3.3)
Vamos supor que A foi reordenada de modo que todos os seus elementos da diagonal sejam não-nulos: .
Vamos então tirar o valor de cada xi na i-ésima equação (i = 1, 2, . . ., n). Como assumimos que aii é não nulo, podemos escrever: Se considerarmos o lado esquerdo do sistema como os elementos de um novo passo de iteração (k+1) e os elementos do lado direito como elementos do passo anterior (k), teremos:

e então: representam os dois vetores que aproximam a solução do sistema, respectivamente na iteração k+1 e k. K é um vetor constante da forma K = ( b1 / a11 b2 / a22 . . . bn / ann) e J é a matriz que define o processo iterativo. Neste caso, esse processo é o chamado Método Iterativo de Jacobi e, por isso, a matriz J é chamada de Matriz de Iteração de Jacobi e tem a forma
J = (3.5)
Exemplo 3.1
Vamos resolver o sistema :
2.x1 + x2 = 5 x1+ 2.x2 = 4
Tiramos inicialmente o valor de x1 na primeira equação e de x2 na segunda equação: x1 = (5/2) - (1/2) x2 x1= 0.x1 - (1/2).x2 + 5
{ ou { (3.6) x2 = 2 - (1/2) x1 x2 = - (1/2).x1 + 0.x2 + 2
Assim escrevemos o sistema na forma matricial X = J X + C , onde:
X = , J = , C =
Agora façamos o seguinte:
1. Chamamos de e as aproximações iniciais (arbitrárias, como vamos ver posteriormente) das componentes de X, ou seja, definimos um vetor :

2. Aplicamos do lado direito do sistema (3.6) obtendo um novo valor para x1 e x2. Digamos que escolhemos = = 0; assim obtemos os valores:

3. Usamos estes valores novamente no sistema (3.6) obtendo os valores:

4. O próximo passo será:

5. Para os demais: etc... Como vemos, o valor das componentes de X(i) vão se aproximando da solução exata, x1 = 2 e x2 = 1, na medida em que vamos calculando novas iterações. Como já