NA 01 LIMITE Id Ias Gerais

LIMITE

O estudo do limite de uma função f(x) consiste em fazer uma análise do valor desta função quando sua variável independente (x) se aproxima de algum valor específico.
Tomemos como exemplo a função y = 3x – 1. Vamos analisar o que acontece com o valor da função quando o valor de x se aproxima de 1.
Nas tabelas atribuímos valores próximos de x = 1: Valores menores que 1, indicando que x está se aproximando de 1 pela esquerda; e valores maiores que 1, mostrando a aproximação de x pela direita de 1.
Valores à esquerda de 1.

Valores à direita de 1. x y = 3x – 1

x y = 3x - 1
0,5
0,5

1,5
3,5
0,7
1,1

1,3
2,9
0,8
1,4

1,2
2,6
0,9
1,7

1,1
2,3
0,95
1,85

1,05
2,15
0,99
1,97

1,01
2,03
0,999
1,997

1,001
2,003
0,99999
1,99997

1,00001
2,00003

Simbolicamente escrevemos:

“O limite da função (3x – 1), quando x tende a 1 (x  1), é 2. Ou seja, y  2 quando x  1”

Muitas vezes queremos determinar o limite de uma função quando sua variável tende para um valor que não faz parte de seu domínio, ou seja, um valor para o qual a função f não está definida.
Exemplo:
y =
Como sabemos, a função acima não é definida para x = 1. Então o estudo do limite dessa função nos permitirá saber qual o comportamento da função quando x assume valores próximos de 1.
Pela esquerda (x < 1)

Pela direita (x > 1) x y

x
Y
0,5
0,666667

1,5
0,400000
0,9
0,526316

1,1
0,476190
0,99
0,502513

1,01
0,497512
0,999
0,500250

1,001
0,499750
0,9999
0,500025

1,0001
0,499975

Observando a tabela podemos perceber que quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima de 0,5.
Com base nesses valores podemos escrever: = 0,5

Definição formal de Limite

Diremos que a função f tende ao limite L quando x tende a xo se, para qualquer número positivo , é possível encontrar um número positivo , tal que:
Se 0 < | x – xo | <  , então | f(x) – L | < 

Indicamos:

Tal definição nos permite provar que um determinado número é limite de uma função.