Métodos quantitativos

Cap´ ıtulo 2 - Fun¸oes reais de v´rias vari´veis reais c˜ a a Caderno de exerc´ ıcios Derivadas parciais 1. Fazendo uso das regras de deriva¸ao determine as duas derivadas parciais de 1a c˜ ordem das seguintes fun¸˜es reais de duas vari´veis reais: co a (a) f (x, y) = y + ex (b) f (x, y) = e + ln
2 −xy

x y

(c) f (x, y) = x tan2 (xy 3 + 2) (d) f (x, y) = sin x ln y

(e) f (x, y) = 2ln(x+2y) (f) f (x, y) = 200x0,3 y 0,7 2. Seja f a fun¸ao real de duas vari´veis reais definida por f (x, y) = xex y . Mostre c˜ a que fx (1, ln 2) + fy (1, ln 2) = 4(1 + ln 2). 3. Fazendo uso das regras de deriva¸˜o determine as trˆs derivadas parciais de 1a ca e ordem das seguintes fun¸˜es reais de trˆs vari´veis reais: co e a √ (a) f (x, y, z) = sin x4 + x yz (b) f (x, y, z) = x2 z ln(2y) (c) f (x, y, z) = ln2 (x + y + 2z) (d) f (x, y, z) = (xy 2 + 1)x + z 4. Seja f a fun¸˜o real de trˆs vari´veis reais definida por ca e a f (x, y, z) = ey ln x2 + 2y 2 + (e − 1)z 2 . Mostre que fx (1, 0, 1) + fy (1, 0, 1) + fz (1, 0, 1) = 3. 5. Fazendo uso das regras de deriva¸˜o determine as derivadas parciais de 2a orca dem das fun¸oes reais de vari´veis reais a seguir consideradas. Verifique que as c˜ a derivadas parciais de segunda ordem mistas s˜o iguais. a (a) f (x, y) = y + sin(x2 − xy) x (b) f (x, y) = x+y (c) f (x, y, z) = xy 2 z + yx3 + y 4 (d) f (x, y, z) = exy
2 −z 2

1

2009-2010, M´todos Quantitativos II, Cap´ e ıtulo 2 Fun¸˜es homog´neas co e 6. Considere as seguintes fun¸oes reais de duas vari´veis reais: c˜ a (a) f (x, y) = x sin (c) f (x, y) = ln (e) f (x, y) = y +y x (b) f (x, y) = sin(xy) + xy (d) f (x, y) = (f) 2 x + y3
3

2

x +2 y

x3 + x2 y xy 2 + y 3 x+y x2 + xy

f (x, y) = xy 2 + x3 + y 2 x3

(g) f (x, y) = √ 3

x2 + ln 4xy (h) f (x, y) = x+y

6.1. Verifique se as fun¸oes s˜o homog´neas e no caso de o serem indique o c˜ a e respectivo grau de homogeneidade. 6.2. Invocando o teorema de Euler indique para cada uma das fun¸oes hoc˜ mog´neas qual a