Métodos Numéricos

Métodos Numéricos para Equações Diferenciais II

Realizado por,
Gabriel Alencar Santos de Amorim
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20 de Outubro de 2014

Introdução
Neste trabalho, temos o objetivo de encontrar uma solução analítica das equações de advecção e advecção-difusão, implementar e discutir os resultados.
Para a equação de advecção usamos a solução de d’Alembert, que permite transformar uma equação diferencial linear de ordem numa outra equação linear de ordem , a partir de uma solução particular conhecida e, para a equação de advecção-difusão, usamos a solução de Green, que é um tipo de função utilizada para resolver equações diferenciais não-homogêneas sujeitas a condições iniciais ou condições de contorno determinadas.
Portanto, com o suporte matemático devido, conseguimos realizar uma modelagem do problema proposto da equação de advecção e advecção-difusão e obtivemos respostas gráficas, que possibilitaram um melhor entendimento da dinâmica e funcionamento do processo.

Soluções Analíticas
Equação de advecção
Inicialmente, temos uma equação de advecção unidimensional para um meio infinito
−∞ < x < +∞, onde a velocidade de advecção u é constante.

Onde temos uma condição inicial dada por, com c representando a concentração de um soluto:

Pela solução de d’Alembert, notamos que para um observador acompanhando a partícula, que é advectada ao longo da curva x(t), a taxa de variação na concentração seria dada por [2, 3] :

e que para um observador movendo-se com velocidade dx/dt = u resultaria em:

Portanto, da Eq. (1) obtém-se que dc/dt= 0 e a resolução da equação de advecção pode ser substituída pela resolução do seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias Sujeito às seguintes condições iniciais:

Resolvendo-se a primeira equação do sistema (5), obtém-se:

Enquanto que da segunda equação tem-se que c é constante ao longo das curvas características (7). Portanto, a solução geral da Eq. (1),