Métodos da Potência

Disciplina: Métodos Numéricos Aplicados às Equações Diferenciais Parciais

INTRODUÇÃO Em muitas aplicações, não ́é necessário obter-se todos os autovalores; ́é comum desejar-se, por exemplo, obter apenas o maior autovalor e seu correspondente autovetor. O método apresentado aqui é indicado para o caso em que apenas um dos autovalores (e seu autovetor) necessita ser calculado. Particularmente, tal método é iterativo e apresenta boa eficiência quando a matriz em estudo é grande, esparsa e apresenta uma grande separação relativa entre o autovalor desejado e os demais autovalores. O método da Potência não é um método geral, mas é útil em um grande número de situações. Por exemplo, é muitas vezes satisfatório quando o problema envolve matrizes esparsas grandes, onde outros métodos desenvolvidos mais recentemente, não podem ser usados devido às limitações de tamanho de memória dos computadores (Atkinson, 1978). É, portanto, um método de difícil implementação de programas de computador, para situações mais generalizadas; sendo, porém, fácil, quando se trata de classes mais especiais de matrizes. OBJETIVO Entender o desenvolvimento teórico do método da Potência, a fim de construir um programa para implementação do mesmo, através do Microsoft Excel.

DESENVOLVIMENTO

O Método das Potências consiste em determinar o auto-valor de maior valor absoluto de uma matriz A, e seu correspondente auto-vetor, sem determinar o polinômio característico. O método é útil na prática, desde que se tenha interesse em determinar apenas alguns auto-valores, de módulo grande, e, que estes estejam bem separados, em módulo, dos demais. Podem surgir complicações caso a matriz A não possua auto-vetores linearmente independentes. O método das potências baseia-se no seguinte teorema.

Teorema 7.2 - Seja A uma matriz real de ordem n e sejam λ1 , λ2 , . . . , λn seus auto-valores e u1, u2, . . . , un seus correspondentes auto-vetores. Suponha que os auto-vetores são linearmente