Método de Simpson

Método de Simpson - 1º
Regra


Fórmula
A 1ª Regra de Simpson é obtida aproximando-se a função por um polinômio interpolador de 2º grau.

h b a
I   y0  4 y1  y2  onde h 
2
3

Método de Simpson Exemplo

Xo  2 h



Xo

Xo  2 h

f ( x)dx 

Xo

p2 (x)dx

Método de Simpson - 1º Regra


Interpretação geométrica:

Método de Simpson – Composta


Fórmula composta:

h
I   y0  4 y1  2 y2  4 y3  2 y4  ...  2 yn 2  4 yn 1  yn 
3
b a onde h  n Método de Simpson – Trapézio


Regra do Trapézio composta
Nem sempre se tem a função a ser integrada definida por uma fórmula analítica, e sim por meio de tabela de pontos, o que torna inviável a utilização da equação.

Método de Simpson – Trapézio


O método do trapézio composto consiste em dividir o intervalo estudado em n trapézios. Quanto mais subintervalos tiver, mas próximo o resultado será da área da figura.

Método de Simpson – Aplicação


Um fluido atravessa a1 secção circular de um tubo com

velocidade onde r é a distância radial ao r 7

v( r ) 3 1  r0 


centro da secção e r0 = 4 cm é o raio da secção.Determine a quantidade de fluido por unidade de tempo que atravessa esta secção, dada por r0 Q 2  rv (r )dr
0

No cálculo utilize 5 pontos igualmente espaçados no intervalo
[0,2] e 6 pontos igual- mente espaçados no restante intervalo. Use as fórmulas numéricas de integração mais apropriadas para cada caso.

Método de Simpson – Resolução


É necessário definir os valores de r utilizados no cálculo do integral, de acordo com as indicações fornecidas. Verifica-se quais os valores pretendidos para integrar, e calcula-se r v(r).
Assim,



Existem dois grupos de pontos com espaçamentos distintos, aos quais são associadas diferentes fórmulas de integração.

4

2

4

0

0

2

r
.
v
(
r
)
dr

r
.
v
(
r
)
dr

r
.
v
(
r
)
dr




Método de Simpson – Resolução
2

r.v((4 r )dr
[0, 2]  subintervalos, h=0.5)
0
fórmula de Simpson:
2

 r.v(r )dr S (0.5) 
0

0 .5
[0 + 4 × 1.471657 + 2