Método das Secantes

Introdução
“Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de obter a derivada f’(x) e calcular o seu valor numérico a cada iteração” (RUGGIERO,1996, p.
74).
O método numérico das secantes é baseado no método de Newton, porém, não necessita do cálculo da derivada, o que pode facilitar muito os cálculos quando tratamos de equações extensas e complexas. (FRANCO, 2006).
O objetivo deste estudo é exemplificar o uso do método numérico das secantes, comparando-o com os demais, identificando seus pontos negativos e positivos. 1.2 Desenvolvimento
Como comentado acima, o método das secantes tem como vantagem em comparação com o método de Newton, não necessitar da derivada.
“Uma forma de contornar o problema é substituir a derivada f’(Xk) pelo quociente das diferenças”(RUGGIERO,1996,p 76).
𝑓 ′ (𝑋𝑘) =

𝑓(𝑋𝑘) − 𝑓(𝑋𝑘 − 1)
𝑋𝑘 − 𝑋𝑘 − 1

Onde Xk e Xk-1 são duas aproximações para a raiz.
Neste caso, a função de iteração fica:
𝜑(𝑋𝑘) =

𝑋𝑘 −

𝑓(𝑋𝑘)
=
𝑓(𝑋𝑘) − 𝑓(𝑋𝑘 − 1)
𝑋𝑘 − 𝑋𝑘 − 1

𝑓(𝑋𝑘)
(𝑋𝑘 − 𝑋𝑘 − 1)
𝑓(𝑋𝑘) − 𝑓(𝑋𝑘 − 1)

Ou ainda, 𝜑 (𝑋𝑘 )

=

𝑋𝑘−1 𝑓(𝑋𝑘)−𝑋𝑘 𝑓(𝑋𝑘−1)
𝑓(𝑋𝑘)−𝑓(𝑋𝑘−1)

(RUGGIERO,1996,p 76).

1.2.1 Interpretação geométrica
“A partir de duas aproximações Xk-1 e Xk, o ponto Xk+1 é obtido como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo OX e da reta que passa por (Xk-1,f(Xk-1)) e
(Xk, f(Xk))” (RUGGIERO,1996, p 75).

Figura 1: gráfico da interpretação da série geométrica

Disponível em: acesso em out. 2014.

1.2.2 Convergência
De acordo com Ruggiero (1996) a regra para convergência do método das secantes é o mesmo que o de Newton, portanto é dado por:

|𝜑

′ (𝑥)|

|𝑓(𝑥) 𝑓 ′′ (𝑥)|
=